Рауса-Гурвица проблема

Определение "Рауса-Гурвица проблема" в Большой Советской Энциклопедии

Рауса - Гурвица проблема, проблема, состоящая в определении числа k корней алгебраического уравнения
a₀zⁿ + a₁z^n-1 + ... + a_n-1z + a_n = 0,
имеющих положительные действительные части. В случае коэффициентов a₀, a₁, ..., a_n справедлива формула
     (1)

где V - число знакоперемен в ряде чисел a₀, D₁, , ..., а D_l (l = 1, 2, ..., n - определители Гурвица (см. Гурвица критерий). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда некоторые из D_l равны нулю. В случае l = 1 из формулы (1) следует критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем. математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р. - Г. п. исследовалась ранее французским математиком Ш. Эрмитом (1856) и английским механиком Э. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула (1) может быть заменена геометрическим правилом. Точка, изображающая комплексную величину
a₀(iw) ⁿ + a₁(iw) ^n-1... + a_n,
при изменении w от 0 до + ¥ описывает кривую. Если при этом полярный угол q точки кривой получает приращение
Dq = n, то
k = (n - n)/2.      (2)

Специального рассмотрения требует особый случай, когда кривая проходит через начало координат. При k = 0 из формулы (2) следует n = n, что даёт получивший широкое распространение в технической литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).
В приложениях встречаются обобщения Р. - Г. п. на случай комплексных коэффициентов a₀, a₁, ..., a_n и на случай трансцендентных уравнений.