Результант

Определение "Результант" в Большой Советской Энциклопедии

Результант (от лат. resultans, родительный падеж resultantis - отражающийся), алгебраическое выражение, применяемое при решении систем алгебраических уравнений. Результант двух многочленов f (x) = a₀ xⁿ+ .. + aⁿ и g(x) = b₀x^s +...+ b_s(возможно, что a₀ = 0 или b₀ = 0) называется определитель
,

где на свободных местах стоят нули; коэффициенты a₀, a₁, ..., a_n занимают s строк, а коэффициенты b₀ b₁ , ..., b_n занимают n строк. Если a₀ ¹ 0 и b₀ ¹ 0, то
,

где a₁, a₂, ..., a_n - корни f(x), b₁, b₂,. .., b_s - корни g(x). Результант равен нулю тогда и только тогда, когда f(x) и g(х) обладают общим корнем или когда их старшие коэффициенты оба равны нулю.

Пусть даны 2 уравнения Р(х, у) = 0 и Q(x, y) = 0, где Р и Q - многочлены относительно х и у. Если расположить эти многочлены по степеням х и приравнять нулю Результант получающихся многочленов, то получится уравнение относительно у степени, не превосходящей sn, где n - степень Р относительно х и у, a s - степень Q. Если x = x₀, у = y₀ - решение данной системы уравнений, то у = y₀ является корнем уравнения R(f, g) = 0. Это позволяет свести решение системы двух уравнений к решению одного уравнения.

Результант многочлена и его производной с точностью до знака равен дискриминанту многочлена. Равенство нулю дискриминанта показывает наличие у многочлена кратных корней.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971.