Сжатых отображений принцип

Определение "Сжатых отображений принцип" в Большой Советской Энциклопедии

Сжатых отображений принцип, одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной точки множества при некотором специальном («сжимающем») отображении его в себя. Сжатых отображений принцип применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у = Ax из М, порождает в пространстве М уравнение
Ax = х. (*)

Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ax. Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.

  Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство
d (Ax, Ау) £ ad (х, у),
  где символ d (u, u) означает расстояние между точками u и u метрического пространства М.

  Сжатых отображений принцип утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x₀ из М последовательность {x_n}, определяемая рекуррентными соотношениями
x_n = Ax_n-1, n = 1,2,...,
имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности:
.

Сжатых отображений принцип позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости Сжатых отображений принцип решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом.

  С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.
Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959.
  Ш. А. Алимов.