БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Сжатых отображений принцип

Значение слова "Сжатых отображений принцип" в Большой Советской Энциклопедии


Сжатых отображений принцип, одно из основных положений теории метрических пространств о существовании и единственности неподвижной
точки множества при некотором специальном («сжимающем») отображении его в себя. Сжатых отображений принцип применяют главным образом в теории дифференциальных и интегральных уравнений.

  Произвольное отображение А метрического пространства М в себя, которое каждой точке х из М сопоставляет некоторую точку у = Ax из М, порождает в пространстве М уравнение

  Ax = х. (*)

  Действие отображения А на точку х можно интерпретировать как перемещение её в точку у = Ax. Точка х называется неподвижной точкой отображения А, если выполняется равенство (*). Т. о. вопрос о разрешимости уравнения (*) является вопросом о нахождении неподвижных точек отображения А.

  Отображение А метрического пространства М в себя называется сжатым, если существует такое положительное число a < 1, что для любых точек х и у из М выполняется неравенство

  d (Ax, Ау) £ ad (х, у),

  где символ d (u, u) означает расстояние между точками u и u метрического пространства М.

  Сжатых отображений принцип утверждает, что каждое сжатое отображение полного метрического пространства в себя имеет, и притом только одну, неподвижную точку. Кроме того, для любой начальной точки x0 из М последовательность {xn}, определяемая рекуррентными соотношениями

  xn = Axn-1, n = 1,2,...,

  имеет своим пределом неподвижную точку х отображения А. При этом справедлива следующая оценка погрешности:

  .

  Сжатых отображений принцип позволяет единым методом доказывать важные теоремы о существовании и единственности решений дифференциальных, интегральных и др. уравнений. В условиях применимости Сжатых отображений принцип решение может быть с наперёд заданной точностью вычислено последовательных приближений методом.

  С помощью определённого выбора полного метрического пространства М и построения отображения А эти задачи сводят предварительно к уравнению (*), а затем находят условия, при которых отображение А оказывается сжатым.

 

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 5, М., 1959.

  Ш. А. Алимов.

 

 

В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Сжатых отображений принцип"

Сжатие земли | Буква "С" | В начало | Буквосочетание "СЖ" | Сжижение газов


Статья про слово "Сжатых отображений принцип" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 3966 раз


Интересное