Случайная функция

Определение "Случайная функция" в Большой Советской Энциклопедии

Случайная функция, функция произвольного аргумента t (заданная на множестве Т его значений и сама принимающая или числовые значения или, более общо, значения из какого-то векторного пространства) такая, что её значения определяются с помощью некоторого испытания и в зависимости от его исхода могут быть различными, причём для них существует определённое распределение вероятностей. Если множество Т конечно, то Случайная функция представляет собой конечный набор случайных величин, который можно рассматривать как одну векторную случайную величину. Из числа Случайная функция с бесконечным Т наиболее изучен важнейший частный случай, когда t принимает числовые значения и является временем; соответствующая Случайная функция X (t) тогда называется случайным процессом (а если время t пробегает лишь целочисленные значения, то также и случайной последовательностью, или временным рядом). Если же значениями аргумента t являются точки из некоторой области многомерного пространства, то Случайная функция называется случайным полем. Типичными примерами Случайная функция, отличных от случайных процессов, являются поля скорости, давления и температуры турбулентного течения жидкости или газа, а также значения высоты z взволнованной морской поверхности или поверхности какой-либо искусственной шероховатой пластинки.

Математическая теория Случайная функция совпадает с теорией распределений вероятностей в функциональном пространстве значений функции X (t), эти распределения могут задаваться набором конечномерных распределений вероятностей для совокупностей случайных величин X (t₁), X (t₂),..., X (t_n), отвечающих всевозможным конечным подмножествам (t₁, t₂,..., t_n) точек множества Т, или же характеристическим функционалом Случайная функция X (t), представляющим собой математическое ожидание случайной величины il [X (t)], где l [X (t)] — линейный функционал от Х (t) общего вида. Значительное развитие получила теория однородных случайных полей, являющихся частным классом Случайная функция, обобщающим класс стационарных случайных процессов.
 

  Лит.: Выбросы случайных полей Сб. ст. М., 1972; Yaglom А. М., Second-order homogeneous random fields, в кн.: Proceedings 4th Berkeley symposium on mathematical statistics and probability, v. 2, Berk — Ins Aug., 1961; Whittle P., Stochastic processes in several dimensions, «Bulletin of the Institute of Statistics», 1963, v. 40.