Случайный процесс

Определение "Случайный процесс" в Большой Советской Энциклопедии

Случайный процесс (вероятностный, или стохастический), процесс (т. е. изменение во времени состояния некоторой системы), течение которого может быть различным в зависимости от случая и для которого определена вероятность того или иного его течения. Типичным примером Случайный процесс может служить броуновское движение; другими практически важными примерами являются турбулентные течения жидкостей и газов, протекание тока в электрической цепи при наличии неупорядоченных флуктуаций напряжения и силы тока (шумов) и распространение радиоволн при наличии случайных замираний (федингов) радиосигналов, создаваемых метеорологическими или иными помехами. К числу Случайный процесс могут быть причислены и многие производственные процессы, сопровождающиеся случайными флуктуациями, а также ряд процессов, встречающихся в геофизике (например, вариации земного магнитного поля), физиологии (например, изменение биоэлектрических потенциалов мозга, регистрируемое на электроэнцефалограмме) и экономике.

Для возможности применения математических методов к изучению Случайный процесс требуется, чтобы мгновенное состояние системы можно было схематически представить в виде точки некоторого фазового пространства (пространства состояний) R", при этом Случайный процесс будет представляться функцией X (t) времени t со значениями из R. Наиболее изученным и весьма интересным с точки зрения многочисленных приложений является случай, когда точки R задаются одним или несколькими числовыми параметрами (обобщёнными координатами системы). В математических исследованиях под Случайный процесс часто понимают просто числовую функцию X (t), могущую принимать различные значения в зависимости от случая с заданным распределением вероятностей для различных возможных её значений — одномерный Случайный процесс; если же точки R задаются несколькими числовыми параметрами, то соответствующий Случайный процесс X (t)={X₁(t), X₂(t),..., X_k (t)} называется многомерным.

Математическая теория Случайный процесс (а также более общих случайных функций произвольного аргумента) является важной главой вероятностей теории. Первые шаги по созданию теории Случайный процесс относились к ситуациям, когда время t изменялось дискретно, а система могла иметь лишь конечное число разных состояний, т. е. — к схемам последовательности зависимых испытаний (А. А. Марков старший и др.). Развитие теорий Случайный процесс, зависящих от непрерывно меняющегося времени, является заслугой сов. математиков Е. Е. Слуцкого, А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина, американских математиков Н. Винера, В. Феллера и Дж. Дуба, французского математика П. Леей, швед. математика X. Крамера и др. Наиболее детально разработана теория некоторых специальных классов Случайный процесс, в первую очередь — марковских процессов и стационарных случайных процессов, а также ряда подклассов и обобщений указанных двух классов Случайный процесс (цепи Маркова, ветвящиеся процессы, процессы с независимыми приращениями, мартингалы, процессы со стационарными приращениями и др.).

Лит.: Марков А. А., Замечательный случай испытаний, связанных в цепь, в его кн.: Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; Слуцкий Е. Е., Избранные труды, М., 1960; Колмогоров А. Н., Об аналитических методах в теории вероятностей, «Успехи математических наук», 1938, в. 5, с. 5—41; Хинчин А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, там же, с. 42—51; Винер Н., Нелинейные задачи в теории случайных процессов, пер. с англ., М., 1961; Дуб Дж., Вероятностные процессы, пер. с англ., М., 1956; Леви П., Стохастические процессы и броуновское движение, пер. с франц., М., 1972; Чандрасекар С., Стохастические проблемы в физике и астрономии, пер. с англ., М., 1947; Розанов Ю. А., Случайные процессы, М., 1971; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 1—2, М., 1971—73.
  А. М. Яглом.