БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Степенная функция

Значение слова "Степенная функция" в Большой Советской Энциклопедии


Степенная функция, функция f (x) = ха, где а — фиксированное число (см. Степень). При действительных значениях основания х и
Рис. к ст. Степенная функция.
показателя а обычно рассматривают лишь действительные значения Степенная функция xa. Они существуют, во всяком случае, для всех х > 0; если а — рациональное число с нечётным знаменателем, то они существуют также для всех х < 0; если же знаменатель рационального числа а чётный, либо если и иррационально, то xa не имеет действительного значения ни при каком х < 0. При х = 0 степенная функция xa равна нулю для всех а > 0 и не определена при а < 0; 0° определённого смысла не имеет. Степенная функция (в области действительных значений) однозначна, за исключением тех случаев, когда а — рациональное число, изображаемое несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна, причём её значения для одного и того же значения аргумента х > 0 равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение Степенная функция Для х > 0 Степенная функция — возрастающая, если а > 0, и убывающая, если а < 0. Степенная функция непрерывна и дифференцируема во всех точках её области определения, за исключением точки х = 0, в случае 0 < а < 1 (когда непрерывность сохраняется, но производная обращается в бесконечность); при этом (xa)" = axa-1. Далее,

  , при a ¹ -1;



  в любом интервале, содержащемся в области определения подынтегральной функции.

  Функции вида у = cxa, где с — постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и её приложениях; при а = 1 эти функции выражают прямую пропорциональность (их графики — прямые, проходящие через начало координат, см. рис. 1), при а = —1 — обратную пропорциональность (графики — равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат своими асимптотами, см. рис. 2). Многие законы физики математически выражаются при помощи функций вида у = cxa (см. рис. 3); например, у = cx2 выражает закон равноускоренного или равнозамедленного движения (у — путь, х — время, 2c — ускорение; начальные путь и скорость равны нулю).

  В комплексной области Степенная функция za определяется для всех z ¹ 0 формулой:

  , (*)

  где k = 0, ± 1, ± 2,.... Если а — целое, то Степенная функция za однозначна:

  .

  Если а — рациональное (а = p/q, где р и q взаимно просты), то Степенная функция za принимает q различных значений:

 

  где ek =  — корни степени q из единицы:  и k = 0, 1, …, q - 1. Если а — иррациональное, то Степенная функция za — бесконечнозначна: множитель ea2kpi принимает для разных k различные значения. При комплексных значениях а Степенная функция za определяется той же формулой (*). Например,

 

  так что, в частности, , где k = 0, ± 1, ± 2,....

  Под главным значением (za)0 С. ф. понимается её значение при k = 0, если —p< argz £ p (или 0 £ argz < 2p). Так, (za)= |za|eia arg z, (i)0=e -p/2 и т.д.

 

Рис. к ст. Степенная функция.
Рис. к ст. Степенная функция.


Рис. к ст. Степенная функция.
Рис. к ст. Степенная функция.


В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Степенная функция"

«Степенная книга» | Буква "С" | В начало | Буквосочетание "СТ" | Степенной вычет


Статья про слово "Степенная функция" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 8527 раз


Интересное