Бернулли числа

Определение "Бернулли числа" в Большой Советской Энциклопедии

Бернулли числа, специальная последовательность рациональных чисел, фигурирующая в различных вопросах математического анализа и теории чисел. Значения первых шести Бернулли числа:

B₁ = ¹/₆, B₂ = ¹/₃₀, B₃ = ¹/₄₂, B₄ = ¹/₃₀,
B₅ = ⁵/₆₆, B₆ = ⁶⁹¹/₂₇₃₀.
В математическом анализе Бернулли числа появляются как коэффициенты разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды. Например:

К числу важнейших формул, в которых встречаются Бернулли числа, относится формула суммирования Эйлера — Маклорена (см. Конечных разностей исчисление). Через Бернулли числа выражаются суммы многих рядов и значения несобственных интегралов. Бернулли числа впервые появились в посмертной работе Я. Бернулли (1713) в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел. Он доказал, что

Для Бернулли числа известны рекуррентные формулы, позволяющие последовательно вычислять эти числа, а также явные формулы (имеющие довольно сложный вид).

Большой интерес представляют теоретико-числовые свойства Бернулли числа Немецкий математик Э. Куммер в 1850 установил, что уравнение Ферма x^p + у^р = z^p не решается в целых числах х, у, z, отличных от нуля, если простое число р > 2 не делит числителей Бернулли числа B₁, B₂,...B _{(p - 3)/2.} Нередко для обозначения Бернулли числа вместо B_m пишут (-1) ^{m - 1}B_2m (m = 1, 2...); кроме того, полагают
B₀ = 1, B₁ = - ¹/₂,
B₃ = B₅ = B₇ =... = 0.
 

  Лит.: Чистяков И. И., Бернуллиевые числа, М., 1895; Кудрявцев В. А., Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли, М.—Л., 1936; Уиттекер Э.-Т. и Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963; Landau Е., Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd 3, N. Y., 1927.
  С. Б. Стечкин.