Бернулли числа

Определение "Бернулли числа" в Большой Советской Энциклопедии

Бернулли числа, специальная последовательность рациональных чисел, фигурирующая в различных вопросах математического анализа и теории чисел. Значения первых шести Бернулли числа:



B1 = 1/6, B2 = 1/30, B3 = 1/42, B4 = 1/30,
B5 = 5/66, B6 = 691/2730.
В математическом анализе Бернулли числа появляются как коэффициенты разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды. Например:


К числу важнейших формул, в которых встречаются Бернулли числа, относится формула суммирования Эйлера — Маклорена (см. Конечных разностей исчисление). Через Бернулли числа выражаются суммы многих рядов и значения несобственных интегралов. Бернулли числа впервые появились в посмертной работе Я. Бернулли (1713) в связи с вычислением суммы одинаковых степеней натуральных чисел. Он доказал, что

Для Бернулли числа известны рекуррентные формулы, позволяющие последовательно вычислять эти числа, а также явные формулы (имеющие довольно сложный вид).


Большой интерес представляют теоретико-числовые свойства Бернулли числа Немецкий математик Э. Куммер в 1850 установил, что уравнение Ферма xp + ур = zp не решается в целых числах х, у, z, отличных от нуля, если простое число р > 2 не делит числителей Бернулли числа B1, B2,...B (p - 3)/2. Нередко для обозначения Бернулли числа вместо Bm пишут (-1) m - 1B2m (m = 1, 2...); кроме того, полагают
B0 = 1, B1 = - 1/2,
B3 = B5 = B7 =... = 0.
 



  Лит.: Чистяков И. И., Бернуллиевые числа, М., 1895; Кудрявцев В. А., Суммирование степеней чисел натурального ряда и числа Бернулли, М.—Л., 1936; Уиттекер Э.-Т. и Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963; Landau Е., Vorlesungen über Zahlentheorie, Bd 3, N. Y., 1927.
  С. Б. Стечкин.



"БСЭ" >> "Б" >> "БЕ" >> "БЕР" >> "БЕРН"

Статья про "Бернулли числа" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 321 раз
Коптим скумбрию в коробке
Буддийская молитва в Камбодже

TOP 20