Целая функция

Определение "Целая функция" в Большой Советской Энциклопедии

Целая функция, функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (см. Аналитические функции). Примерами Целая функция могут служить алгебраический многочлен a₀ + a₁z +... + a_nzⁿ, функции sinz, cosz, e^z. Бесконечно удалённая точка является, вообще говоря, изолированной особой точкой Целая функция Для того чтобы бесконечно удалённая точка была устранимой особой точкой (соответственно полюсом), для Целая функция f (z) необходимо и достаточно, чтобы f (z) была постоянна (соответственно была алгебраическим многочленом). Если точка z = ¥ является существенно особой точкой для Целая функция f (z), то f (z) называют трансцендентной Целая функция Таковы, например, функции sinz, cosz, e^z.
  Для того чтобы f (z) была Целая функция, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере для одной точки z₀ имело место соотношение

В этом случае разложение f (z) в ряд Тейлора

будет сходиться по всей плоскости комплексного переменного.
Основой для классификации трансцендентных Целая функция служит скорость роста М (r) функции, определяемой равенством

  Величину

называют порядком Целая функция f (z). В трудах А. Пуанкаре, Ж. Адамара и Э. Бореля была установлена связь между порядком Целая функция и распределением её нулей.
Лит.: Маркушевич А. И., Целые функции, М., 1965.