Экстремум

Определение "Экстремум" в Большой Советской Энциклопедии

Экстремум. Рис.

Экстремум (от лат. extremum - крайнее), значение непрерывной функции f (x), являющееся или максимумом, или минимумом. Точнее: непрерывная в точке х₀ функция f (x) имеет в x₀ максимум (минимум), если существует окрестность (x₀ + d, x₀ - d) этой точки, содержащаяся в области определения f (x), и такая, что во всех точках этой окрестности выполняется неравенство f (x₀), ³ f (x) [соответственно, f (x₀) £ f (x)]. Если при этом существует такая окрестность, что в ней f (x₀) > f (x) [или f (x₀) << f (x)] при х ¹ x₀, то говорят о строгом, или собственном, максимуме (минимуме), в противном случае - о нестрогом, или несобственном, максимуме (минимуме) (на рис. 1 в точке А достигается строгий максимум, в точке В - нестрогий минимум). Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Для того чтобы функция f (x) имела Экстремум в некоторой точке x₀, необходимо, чтобы она была непрерывна в x₀ и чтобы либо f`(x<sub>0</sub>) = 0 (точка А на рис. 1), либо f`(x₀) не существовала (точка С на рис. 1). Если при этом в некоторой окрестности точки x₀ производная f"(x) слева от x₀ положительна, а справа отрицательна, то f (x) имеет в x₀ максимум; если f"(x) слева от x₀ отрицательна, а справа положительна, то - минимум (первое достаточное условие Экстремум). Если же f"(x) не меняет знака при переходе через точку x₀, то функция f (x) не имеет Экстремум в точке x₀ (точки D, Е и F на рис. 1). Если f (x) в точке x₀ имеет п последовательных производных, причём f"(x₀) = f``(x₀) =...= f ^(n-1) (x₀)=0, a f ⁽ⁿ⁾(x₀)¹0, то при п нечётном f (x) не имеет Экстремум в точке x₀, а при п чётном имеет минимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x₀) > 0, и максимум, если f ⁽ⁿ⁾ (x₀) < 0. Экстремум функции не следует смешивать с наибольшим и наименьшим значениями функции.

Экстремум. Рис.

Аналогично Экстремум функции одного переменного определяется Экстремум функции нескольких переменных. Необходимым условием Экстремум является в этом случае обращение в нуль или же несуществование частных производных первого порядка. Например, на рис. 2 частные производные равны нулю в точке М, на рис. 3 в точке М они не существуют. Если в некоторой окрестности точки М (х₀, y₀) существуют и непрерывны первые и вторые частные производные функции f (x, у) и в самой точке f"_x = f"_y = 0,
D = f"" _xx f"" _уу > 0,

Экстремум. Рис.

  то f (x, у) в точке М имеет Экстремум (максимум при f""_xx < 0 и минимум при f""_xx > 0); Экстремум в точке М не существует, если D < 0 (в этом случае М является т. н. седловиной, или точкой минимакса, см. рис. 4).
Достаточные условия Экстремум функций многих переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определённости квадратичной формы
Sⁿ_{i, k=1} a_ikDx_iDx_k
где a_ik - значение f""x_ix_k в исследуемой точке. См. также Условный экстремум.
Термин «Экстремум» употребляется также при изучении наибольших и наименьших значений функционалов в вариационном исчислении.
  Лит.: Ильин В. А., Позняк Экстремум Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

Экстремум. Рис.