Эргодическая теория

Определение "Эргодическая теория" в Большой Советской Энциклопедии

Эргодическая теория, один из разделов общей динамики. Эргодическая теория возникла в связи с задачей математического обоснования статистической физики, а именно — замены средних значений, взятых по фазовому пространству, временными средними. Состояние некоторой физической системы, например какого-либо объема газа, определяется импульсами и координатами составляющих ее частиц, т. е. 6N величинами (N — число частиц). Возможные состояния системы удобно представлять себе как точки 6N-мерного пространства — фазового пространства, а ее эволюцию с течением времени — как некоторое движение (траекторию) в этом пространстве. Различные физические величины, связанные с данной системой (температура, давление и т. п.), являются, как правило, функциями координат и импульсов, составляющих систему частиц, т. е. функциями точки ее фазового пространства. Такие величины называются фазовыми функциями. При сопоставлении теории с экспериментом приходится сравнивать вычисленные значения тех или иных физических величин с опытными данными. Обычно теоретически легко определяются лишь средние значения фазовых функций по всем состояниям, отвечающим данной энергии (т. н. фазовые средние). С другой стороны, так как измерение любой физической величины занимает конечное время, притом большое с точки зрения скорости молекулярных процессов, результат всякого измерения представляет собой среднее по времени (т. е. вдоль траектории) от соответствующей фазовой функции. Т. о., для сравнения опытных данных с теоретическими необходимо обосновать замену временных средних фазовыми. Система, в которой фазовые средние совпадают с временными, называется эргодической. Выяснение условий, при которых система является эргодической, и составляет основную задачу Эргодическая теория Попытки установить условия эргодичности физической системы делались еще Л. Больцманом, но первый математически строгий результат был получен только в 1931 Дж. Биркгофом, который доказал, что система является эргодической в том и только в том случае, если ее фазовое пространство нельзя разбить на сумму двух инвариантных (т. е. состоящих из целых траекторий) множеств, каждое из которых имеет положительный объем. Одновременно Биркгоф доказал, при весьма общих предположениях, и само существование временных средних. Исследования Биркгофа были продолжены и обобщены в более поздних работах (Дж. Нейман, А. Я. Хинчин, Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов и др.). Эргодическая теория развивается по существу как чисто математическая теория в рамках общей теории динамических систем.

  Полученные в Эргодическая теория результаты не привели к исчерпывающему решению вопроса об обосновании статистической физики, однако Эргодическая теория и само понятие эргодической системы играют важную роль в общей динамике, качественной теории дифференциальных уравнений, теории случайных процессов и других вопросах.

Лит.: Хинчин А. Я., Математические основания статистической механики, М. — Л., 1943; Немыцкий В. В., Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. — Л., 1949; Халмош П., Лекции по эргодической теории, пер. с англ., М., 1959; Аносов Д. В., Синай Я. Г., Некоторые гладкие эргодические системы, «Успехи математических наук», 1967, т. 22, в. 5 (137).