БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Якобиан

Значение слова "Якобиан" в Большой Советской Энциклопедии


Якобиан, функциональный определитель ½aik½1n с элементами , где yi = fi (X1,..., Xn), l £ i £ n,
функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:

  .

  Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций

  y1 = f1 (. x1, x2), y2 = f2 (x1, x2) (1)

  задаёт отображение области D, лежащей на плоскости x1, x2, на часть плоскости y1, y2. Роль Якобиан для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной. Например, абсолютное значение Якобиан в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Якобиан в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если Якобиан не обращается в нуль в области D и j (y1, у2) функция, заданная в области D1 (образе D), то



(формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов. Если Якобиан отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение

  x1 = j1 (y1, y2), x1 = j2(y1, y2),

  причём

 

  (аналог формулы дифференцирования обратной функции). Это утверждение находит многочисленные применения в теории неявных функций. Для возможности явного выражения в окрестности точки М (x1(0),..., xn (0, y1(0),..., ym (0)) функций y1,..., ут, неявно заданных уравнениями Fk (x1,..., xn, y1,..., ум) = 0, (2)

  1 £ k £ m,

  достаточно, чтобы координаты точки М удовлетворяли уравнениям (2), функции Fk имели непрерывные частные производные и Якобиан

 

  был отличен от нуля в точке М.

 

  Лит.: Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 2, М., 1973; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.

В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Якобиан"

Якоби телеграфный аппарат | Буква "Я" | В начало | Буквосочетание "ЯК" | Якобинская диктатура


Статья про слово "Якобиан" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 4110 раз


Интересное