Кратный интеграл

Определение "Кратный интеграл" в Большой Советской Энциклопедии

Кратный интеграл. Рис.

Кратный интеграл, интеграл от функции, заданной в какой-либо области на плоскости, в трёхмерном или n-мерном пространстве. Среди Кратный интеграл различают двойные интегралы, тройные интегралы и т. д. n-кратные интегралы.

Пусть функция f (x, y) задана в некоторой области D плоскости хОу. Разобьем область D на n частичных областей d_i, площади которых равны s_i, выберем в каждой области d_i точку (x_i, h_i) (см. рис.) и составим интегральную сумму
.

Если при неограниченном уменьшении максимального диаметра частичных областей d_i суммы S имеют предел независимо от выбора точек (x_i, h_i), то этот предел называют двойным интегралом от функции f (x, у) по области D и обозначают
.
Аналогично определяется тройной интеграл и вообще n-кратный интеграл.

Для существования двойного интеграла достаточно, например, чтобы область D была замкнутой квадрируемой областью, а функция f (x, y) была непрерывна в D. Кратный интеграл обладают рядом свойств, аналогичных свойствам простых интегралов. Для вычисления Кратный интеграл обычно приводят его к повторному интегралу. В специальных случаях для сведения Кратный интеграл к интегралам меньшей размерности могут служить Грина формулы и Остроградского формула. Кратный интеграл имеют обширные применения: с их помощью выражаются объёмы тел, их массы, статические моменты, моменты инерции и т. п.
Лит. см. при статьях Интегральное исчисление, Интеграл.