Величина

Определение "Величина" в Большой Советской Энциклопедии

Величина, одно из основных математических понятий, смысл которого с развитием математики подвергался ряду обобщений.
I. Ещё в «Началах» Евклида (3 в. до н. э.) были отчётливо сформулированы свойства Величина, называемых теперь, для отличия от дальнейших обобщений, положительными скалярными величинами. Это первоначальное понятие Величина является непосредственным обобщением более конкретных понятий: длины, площади, объёма, массы и т.п. Каждый конкретный род Величина связан с определенным способом сравнения физических тел или др. объектов. Например, в геометрии отрезки сравниваются при помощи наложения, и это сравнение приводит к понятию длины: два отрезка имеют одну и ту же длину, если при наложении они совпадают; если же один отрезок накладывается на часть другого, не покрывая его целиком, то длина первого меньше длины второго. Общеизвестны более сложные приёмы, необходимые для сравнения плоских фигур по площади или пространственных тел по объёму.

В соответствии со сказанным, в пределах системы всех однородных Величина (то есть в пределах системы всех длин или всех площадей, всех объёмов) устанавливается отношение неравенства: две Величина а и b одного и того же рода или совпадают (а = b), или первая меньше второй (а < b), или вторая меньше первой (b < a). Общеизвестно также в случае длин, площадей, объёмов и то, каким образом устанавливается для каждого рода Величина смысл операции сложения. В пределах каждой из рассматриваемых систем однородных Величина отношение а < b и операция а + b = с обладают следующими свойствами:
1) каковы бы ни были а и b, имеет место одно и только одно из трёх соотношений: или а = b, или а < b, или b<a.
  2) если а<b и b<c, то а<с (транзитивность отношений «меньше», «больше»);
3) для любых двух Величина а и b существует однозначно определённая Величина с = а+b,
  4) а + b = b+ а (коммутативность сложения);
5) а + (b + с) = (а + b) + с (ассоциативность сложения);
6) а+b > а (монотонность сложения);
7) если а > b, то существует одна и только одна Величина с, для которой b + с = а (возможность вычитания);
8) каковы бы ни были Величина а и натуральное число n, существует такая Величина b, что nb = a (возможность деления);

9) каковы бы ни были Величина а и b, существует такое натуральное число n, что а < nb. Это свойство называется аксиомой Евдокса, или аксиомой Архимеда. На нём вместе с более элементарными свойствами 1—8 основана теория измерения Величина, развитая древнегреческими математиками.

Если взять какую-либо длину l за единичную, то система s" всех длин, находящихся в рациональном отношении к l, удовлетворяет требованиям 1—9. Существование несоизмеримых (см. Соизмеримые и несоизмеримые величины) отрезков (открытие которых приписывается Пифагору, 6 в. до н. э.) показывает, что система s" ещё не охватывает системы s всех вообще длин.
Чтобы получить вполне законченную теорию Величина, к требованиям 1—9 надо присоединить ещё ту или иную дополнительную аксиому непрерывности, например:

10) если последовательности величин a₁<a₂<... <...< b₂<b₁ обладают тем свойством, что b_n — a_n< с для любой Величина с при достаточно большом номере n, то существует единственная Величина х, которая больше всех a_n и меньше всех b_n.

  Свойства 1—10 и определяют полностью современное понятие системы положительных скалярных Величина Если в такой системе выбрать какую-либо Величина l за единицу измерения, то все остальные Величина системы однозначно представляются в виде а = al, где а. — положительное действительное число. Подробнее об измерении Величина см. ст. Измерение.

  II. Рассмотрение направленных отрезков на прямой, скоростей, могущих иметь два противоположных направления, и т.п. Величина естественно приводит к тому обобщению понятия скалярной Величина, которое является основным в механике и физике. Система скалярных Величина в этом понимании включает в себя, кроме положительной Величина, нуль и отрицательную Величина Выбирая в такой системе какую-либо положительную величину l за единицу измерения, выражают все остальные Величина системы в виде а = al, где a — действительное число, положительное, отрицательное или равное нулю. Конечно, систему скалярных Величина в этом понимании можно охарактеризовать и аксиоматически, не опираясь на понятие числа. Для этого пришлось бы несколько изменить требования 1—10, которыми выше охарактеризовано понятие положительной скалярной Величина

III. В более общем смысле слова величинами называют векторы, тензоры и др. «не скалярные величины». Такие Величина можно складывать, но отношение неравенства (а < b) для них теряет смысл.

IV. В некоторых более отвлечённых математических исследованиях играют известную роль «неархимедовы» Величина, которые имеют с обычными скалярными Величина то общее, что для них сохраняются обычные свойства неравенств, но аксиома 9 не выполняется (для скалярных Величина в смысле пункта II она сохраняется с оговоркой, что b > 0).

  V. Так как система действительных положительных чисел удовлетворяет перечисленным выше свойствам 1—10, а система всех действительных чисел обладает всеми свойствами скалярных Величина, то вполне законно сами действительные числа называть величинами. Это особенно принято при рассмотрении переменных Величина Если какая-либо конкретная Величина, например длина l нагреваемого металлического стержня, изменяется во времени, то меняется и измеряющее её число х = l / l₀ (при постоянной единице измерения l_o). Само это меняющееся во времени число х принято называть переменной Величина и говорить, что х принимает в какие-либо последовательные моменты времени t₁, t₂,...»числовые значения» X₁, X₂,... В традиционной математической терминологии говорить о «переменных числах» не принято. Однако логичнее такая точка зрения: числа, как и длины, объёмы и т.п., являются частными случаями Величина и, как всякие Величина, могут быть и переменными, и постоянными. Столь же законно и рассмотрение переменных векторов, тензоров и т.п.
По поводу принципиального значения перехода к рассмотрению переменных Величина для всего развития математики см. в статье Математика.
  Лит.: Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960.
А. Н. Колмогоров.