Квадратичный вычет

Определение "Квадратичный вычет" в Большой Советской Энциклопедии

Квадратичный вычет, понятие теории чисел. Квадратичный вычет по модулю m — число а, для которого сравнение x² º а (mod m) имеет решение: при некотором целом х число x²—a делится на m; если это сравнение не имеет решений, то а называют квадратичным невычетом. Например, если m  = 11, то число 3 будет Квадратичный вычет, так как сравнение x² º 3 (mod 11) имеет решения х = 5, х = 6, а число 2 будет невычетом, т.к. не существует чисел х, удовлетворяющих сравнению x² º 2 (mod 11). Квадратичный вычет являются частным случаем вычетов степени n для n = 2. Если m равно простому нечётному числу р, то среди чисел 1, 2,..., р—1 имеется (р—1)/2 Квадратичный вычет и (р—1)/2 квадратичных невычетов. Для изучения Квадратичный вычет по простому модулю р вводится Лежандра символ , определяемый так: если а взаимно просто с р, то полагают  = 1, когда а — Квадратичный вычет, и  = — 1, когда а — квадратичный невычет. Основной теоремой в этом круге вопросов является так называемый закон взаимности Квадратичный вычет: если р и q — простые нечётные числа, то
.

Эту закономерность открыл около 1772 Л. Эйлер, современная формулировка дана А. Лежандром, полное доказательство впервые дал в 1801 К. Гаусс. Удобным обобщением символа Лежандра является Якоби символ. Закон взаимности Квадратичный вычет получил многочисленные обобщения в теории алгебраических чисел. И. М. Виноградовыми др. учёными изучалось распределение Квадратичный вычет и суммы значений символа Лежандра.
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972.