Сравнение (матем.)

Определение "Сравнение (матем.)" в Большой Советской Энциклопедии

Сравнение (математическое), соотношение между двумя целыми числами а и b, означающее, что разность а - b этих чисел делится на заданное целое число т, называемое модулем Сравнение (матем.); пишется а º b (mod т). Например, 2 º 8 (mod 3), т. к. 2-8 делится на 3. Сравнение (матем.) обладают многими свойствами, аналогичными свойствам равенств. Например, слагаемое, находящееся в одной части Сравнение (матем.), можно перенести с обратным знаком в другую часть, т. е. из a + b º с (mod т) следует, что а º с - b (mod т). Сравнение (матем.) с одним и тем же модулем можно складывать, вычитать и умножать, т. е. из а º b (mod т) и с º d (mod т) следует, что а + с º b + d (mod т), а - с º b-d (mod т), ас º bd (mod т). Далее, обе части Сравнение (матем.) можно умножать на одно и то же целое число, обе части Сравнение (матем.) можно разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем. Если же общий наибольший делитель числа, на которое делят обе части Сравнение (матем.), и модуля т есть d, то после деления получают Сравнение (матем.) по модулю m/d. В теории чисел рассматриваются методы решения различных Сравнение (матем.), т. е. методы отыскания целых чисел, удовлетворяющих Сравнение (матем.) того или иного вида. Если число х является решением некоторого Сравнение (матем.) по модулю т, то любое число вида х + km (k - целое число) также является решением этого Сравнение (матем.) Совокупность чисел вида х + km (k = ...,-1, 0,1,...) называется классом по модулю т. Решения Сравнение (матем.) по модулю т, принадлежащие к одному и тому же классу по модулю т, не считаются различными, так что числом решений Сравнение (матем.) по модулю т называется число решений, принадлежащих к различным классам по модулю т. Сравнение (матем.) первой степени с одним неизвестным всегда может быть приведено к виду ax º b (modm). Оно не имеет решений, если b не делится на общий наибольший делитель а и т, который обозначим d, и имеет d решений, если b делится на d. Теория квадратичных вычетов и степенных вычетов по модулю т есть теория Сравнение (матем.) вида соответственно x² º a (mod т) и xⁿ º a (mod т). Понятие Сравнение (матем.) для целых чисел может быть обобщено, а именно: можно говорить о сравнимости двух элементов кольца по идеалу.
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953.