Корреляционный анализ

Определение "Корреляционный анализ" в Большой Советской Энциклопедии

Корреляционный анализ, совокупность основанных на математической теории корреляции методов обнаружения корреляционной зависимости между двумя случайными признаками или факторами. Корреляционный анализ экспериментальных данных заключает в себе следующие основные практические приёмы: 1) построение корреляционного поля и составление корреляционной таблицы; 2) вычисление выборочных коэффициентов корреляции или корреляционного отношения; 3) проверка статистической гипотезы значимости связи. Дальнейшее исследование заключается в установлении конкретного вида зависимости между величинами (см. Регрессионный анализ). Зависимость между тремя и большим числом случайных признаков или факторов изучается методами многомерного Корреляционный анализ (вычисление частных и множественных коэффициентов корреляции и корреляционных отношений).

Корреляционное поле и корреляционная таблица являются вспомогательными средствами при анализе выборочных данных. При нанесении на координатную плоскость выборочных точек получают корреляционное поле. По характеру расположения точек поля можно составить предварительное мнение о форме зависимости случайных величин (например, о том, что одна величина в среднем возрастает или убывает при возрастании другой). Для численной обработки результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке корреляционной таблицы (см. в ст. Корреляция в математической статистике) приводятся численности гц; тех пар (х, у), компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной.

Предполагая длины интервалов группировки (по каждому из переменных) равными между собой, выбирают центры x_i (соответственно y_j) этих интервалов и числа n_ij в качестве основы для расчётов.
Коэффициент корреляции и корреляционное отношение дают более точную информацию о характере и силе связи, чем картина корреляционного поля. Выборочный коэффициента корреляции определяют по формуле:
,
где
, ,
, .

  При большом числе независимых наблюдений, подчиняющихся одному и тому же распределению, и при надлежащем выборе интервалов группировки коэффициент  близок к истинному коэффициенту корреляции r. Поэтому использование  как меры связи имеет четко определённый смысл для тех распределений, для которых естественной мерой зависимости служит r (т. е. для нормальных или близких к ним распределений). Во всех др. случаях в качестве характеристики силы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение h, интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.
Выборочное значение _y|_x вычисляется по данным корреляционной таблицы:
²_y|_x =

где числитель характеризует рассеяние условных средних значений  около безусловного среднего (аналогично определяется выборочное значение _x|_y). Величина _y|_x используется в качестве меры отклонения зависимости от линейной, т. к. обычно ²_y|_x>r², _x|_y>r² и лишь в случае линейной зависимости r²=²_y|_x=_x|_y. Так, при анализе корреляции между высотой и диаметром северной сосны было обнаружено, что условные средние значения высоты сосны для заданного диаметра связаны нелинейной зависимостью. Корреляционное отношение (высоты к диаметру) в этом случае равно 0,813, а коэффициент корреляции равен 0,762.

Проверка гипотезы значимости связи основывается на знании законов распределения выборочных корреляционных характеристик. В случае нормального распределения величина выборочного коэффициента корреляции  считается значимо отличной от нуля, если выполняется неравенство
,

где t_a есть критическое значение t-распределения Стьюдента с (n-2) степенями свободы, соответствующее выбранному уровню значимости a (см. Стьюдента распределение). Если же известно, что r ¹ 0, то необходимо воспользоваться z-преобразованием Фишера (не зависящим от r и n):
.
Исходя из приближённой нормальности z, можно определить доверительные интервалы для истинного коэффициента корреляции r.

В случае когда изучаются не количественные признаки, а качественные, обычные меры зависимости не годятся. Однако, если удаётся каким-либо образом упорядочить изучаемые объекты в отношении некоторого признака, т. е. прописать им порядковые номера - ранги (по два номера в соответствии с двумя признаками), то в качестве выборочной характеристики связи можно воспользоваться, например, т. н. коэффициентом ранговой корреляции:
,

где d_i - разность рангов по обоим признакам для каждого объекта. По степени уклонения R от нуля можно сделать некоторое заключение о степени зависимости качественных признаков. Проверка гипотезы независимости признаков при небольшом объёме выборки производится с помощью специальных таблиц, а при n > 10 для вычисления критических значений выборочных коэффициентов пользуются тем, что эти величины распределены приближённо нормально.
Лит. см. при ст. Корреляция.
  А. В. Прохоров.