БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Регрессионный анализ

Значение слова "Регрессионный анализ" в Большой Советской Энциклопедии


Регрессионный анализ, раздел математической статистики, объединяющий практические методы исследования регрессионной зависимости между величинами по статистическим данным (см.
href="article096007.html" title="Регрессия">Регрессия). Цель Регрессионный анализ состоит в определении общего вида уравнения регрессии, построении оценок неизвестных параметров, входящих в уравнение регрессии, и проверке статистических гипотез о регрессии. При изучении связи между двумя величинами по результатам наблюдений (x1, y1), ..., (xn, yn) в соответствии с теорией регрессии предполагается, что одна из них Y имеет некоторое распределение вероятностей при фиксированном значении х другой, так что

Е(Y ï х) = g(x, b) и D(Y ï х) = s2h2(x),

где b обозначает совокупность неизвестных параметров, определяющих функцию g(х), a h(x) есть известная функция х (в частности, тождественно равная 1). Выбор модели регрессии определяется предположениями о форме зависимости g(х, b) от х и b. Наиболее естественной с точки зрения единого метода оценки неизвестных параметров b является модель регрессии, линейная относительно b:

g(x, b) = b0g0(x) + ... + bkgk(x).

  Относительно значений переменной х возможны различные предположения в зависимости от характера наблюдений и целей анализа. Для установления связи между величинами в эксперименте используется модель, основанная на упрощённых, но правдоподобных допущениях: величина х является контролируемой величиной, значения которой заранее задаются при планировании эксперимента, а наблюдаемые значения у представимы в виде

yi = g(xi, b) + ei, i = 1, ..., k,

где величины ei  характеризуют ошибки, независимые при различных измерениях и одинаково распределённые с нулевым средним и постоянной дисперсией s2. Случай неконтролируемой переменной х отличается тем, что результаты наблюдений (xi, yi), ..., (xn, yn) представляют собой выборку из некоторой двумерной совокупности. И в том, и в другом случае Регрессионный анализ производится одним и тем же способом, однако интерпретация результатов существенно различается (если обе исследуемые величины случайны, то связь между ними изучается методами корреляционного анализа).

  Предварительное представление о форме графика зависимости g(x) от х можно получить по расположению на диаграмме рассеяния (называемой также корреляционным полем, если обе переменные случайные) точек (xi, (xi)), где (xi) средние арифметические тех значений у, которые соответствуют фиксированному значению xi. Например, если расположение этих точек близко к прямолинейному, то допустимо использовать в качестве приближения линейную регрессию. Стандартный метод оценки линии регрессии основан на использовании полиномиальной модели (m ³ 1)

y(x, b) = b0 + b1x + ... + bmxm

(этот выбор отчасти объясняется тем, что всякую непрерывную на некотором отрезке функцию можно приблизить полиномом с любой наперёд заданной степенью точности). Оценка неизвестных коэффициентов регрессии b0, ..., bm и неизвестной дисперсии s2 осуществляется наименьших квадратов методом. Оценки  параметров b0, ..., bm, полученные этим методом, называются выборочными коэффициентами регрессии, а уравнение



определяет т. н. эмпирическую линию регрессии. Этот метод в предположении нормальной распределённости результатов наблюдений приводит к оценкам для b0, ..., bm и s2, совпадающим с оценками наибольшего правдоподобия (см. Максимального правдоподобия метод). Оценки, полученные этим методом, оказываются в некотором смысле наилучшими и в случае отклонения от нормальности. Так, если проверяется гипотеза о линейной регрессии, то

, ,

где  и  — средние арифметические значений xi и yi, и оценка  будет несмещенной для g(х), а её дисперсия будет меньше, чем дисперсия любой другой линейной оценки. При допущении, что величины yi нормально распределены, наиболее эффективно осуществляется проверка точности построенной эмпирической регрессионной зависимости и проверка гипотез о параметрах регрессионной модели. В этом случае построение доверительных интервалов для истинных коэффициентов регрессии b0, ..., bm и проверка гипотезы об отсутствии регрессионной связи bi = 0, i = 1, ..., m) производится с помощью Стьюдента распределения.

  В более общей ситуации результаты наблюдений y1, ..., yn рассматриваются как независимые случайные величины с одинаковыми дисперсиями и математическими ожиданиями

Eyi, = b1 x1i + ... + bkxki, i = 1, ..., n,

где значения xji, j = 1, ..., k предполагаются известными. Эта форма линейной модели регрессии является общей в том смысле, что к ней сводятся модели более высоких порядков по переменным x1, ..., xk. Кроме того, некоторые нелинейные относительно параметров bi; модели подходящим преобразованием также сводятся к указанной линейной форме.

  Регрессионный анализ является одним из наиболее распространённых методов обработки результатов наблюдений при изучении зависимостей в физике, биологии, экономике, технике и др. областях. На модели Регрессионный анализ основаны такие разделы математической статистики, как дисперсионный анализ и планирование эксперимента; модели Регрессионный анализ широко используются в статистическом анализе многомерном.

 

  Лит.: Юл Дж. Э., Кендэл М. Дж., Теория статистики, пер. с англ., 14 изд., М., 1960; Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., М., 1969; Айвазян С. А., Статистическое исследование зависимостей, М., 1968; Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968. См. также лит. при ст. Регрессия.

  А. В. Прохоров.

В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Регрессионный анализ"

Регрессивное залегание | Буква "Р" | В начало | Буквосочетание "РЕ" | Регрессия моря


Статья про слово "Регрессионный анализ" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 13568 раз


Интересное