Криволинейный интеграл

Определение "Криволинейный интеграл" в Большой Советской Энциклопедии

Криволинейный интеграл, интеграл, взятый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Различают Криволинейный интеграл 1-го и 2-го типов. Криволинейный интеграл 1-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о вычислении массы кривой переменной плотности; он обозначается через
,

где С — заданная кривая, ds — дифференциал её дуги, a f (P) — функция точки на кривой, и представляет собой предел соответствующих интегральных сумм (см. Интеграл). В случае плоской кривой С, заданной уравнением у = у (х), Криволинейный интеграл 1-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:
.
Криволинейный интеграл 2-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о работе силового поля; в случае плоской кривой С он имеет вид:

и является также пределом соответствующих интегральных сумм. Криволинейный интеграл 2-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:
,

где х = x (t), у = у (t) (a £ t £ b) — уравнения кривой С в параметрической форме, и к Криволинейный интеграл 1-го типа по формуле:
;
здесь a — угол между осью Ox и касательной к кривой, направленной в сторону возрастания дуги.

Аналогично определяется Криволинейный интеграл 2-го типа в пространстве. О Криволинейный интеграл 2-го типа с векторной точки зрения см. Векторное исчисление.

  Пусть D — некоторая область и С — её граница. При некоторых условиях между Криволинейный интеграл по кривой С и двойным интегралом по области D (см. Кратный интеграл) имеет место соотношение:

(см. Грина формулы), а между Криволинейный интеграл и поверхностным интегралом — соотношение:

(см. Стокса формула).

  Особенно большое значение Криволинейный интеграл приобрели в теории функций комплексного переменного (см. Аналитические функции). Криволинейный интеграл имеют широкое применение в различных областях механики, физики и техники.
Лит.: см. при статьях Интегральное исчисление, Интеграл.