Линейная зависимость

Определение "Линейная зависимость" в Большой Советской Энциклопедии

Линейная зависимость (матем.), соотношение вида
C11u1 + C2u2 + ... + Cnun = 0, (*)



где С1, C2, ..., Cn — числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, а u1, u2, ..., un — те или иные матем. объекты, для которых определены операции сложения и умножения на число. В соотношение (*) объекты u1, u2, ..., un входят в 1-й степени, т. е. линейно; поэтому описываемая этим соотношением зависимость между ними называется линейной. Знак равенства в формуле (*) может иметь различный смысл и в каждом конкретном случае должен быть разъяснён. Понятие Линейная зависимость употребляется во многих разделах математики. Так, можно говорить о Линейная зависимость между векторами, между функциями от одного или нескольких переменных, между элементами линейного пространства и т. д. Если между объектами u1, u2, ..., un имеется Линейная зависимость, то говорят, что эти объекты линейно зависимы; в противном случае их называется линейно независимыми. Если объекты u1, u2, ..., un линейно зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных, т. е.
u1 = a 1u1 + ... + a i-1ui-1 + a i+1ui+1 + ... + a nun.
  Непрерывные функции от одного переменного


u1 = j 1(х), u2 = j 2(х), ..., un = j n(x) называются линейно зависимыми, если между ними имеется соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно х. Для того чтобы функции j 1(x), j 2(x), ..., j n(x), заданные на некотором отрезке а £ х £ b, были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль их определитель Грама

где

i, k = 1,2, ..., n.



Если же функции j1 (x), j2(x), ..., jn(x) являются решениями линейного дифференциального уравнения, то для существования Линейная зависимость между ними необходимо и достаточно, чтобы вронскиан обращался в нуль хотя бы в одной точке.
Линейные формы от m переменных
u1 = ai1x1 + ai2x2 + ... + aimxm
  (i = 1, 2, ..., n)


называются линейно зависимыми, если существует соотношение вида (*), в котором знак равенства понимается как тождество относительно всех переменных x1, x2, ..., xm. Для того чтобы n линейных форм от n переменных были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы обращался в нуль определитель
D= 



"БСЭ" >> "Л" >> "ЛИ" >> "ЛИН" >> "ЛИНЕ"

Статья про "Линейная зависимость" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 276 раз
Бургер двойного помола
Каша со столетними яйцами

TOP 20