БНБ "БСЭ" (95279) - Photogallery - Естественные науки - Математика - Технология
|
Линейные дифференциальные уравненияОпределение "Линейные дифференциальные уравнения" в Большой Советской Энциклопедии
Линейные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения вида где у = y(x) — искомая функция, y(n), у(n-1),..., y" — её производные, a p1(x), p2(x),..., pn(x) (коэффициенты) и f(x) (свободный член) — заданные функции (см. Дифференциальные уравнения). В уравнение (1) искомая функция у и её производные входят в 1-й степени, т. е. линейно, поэтому оно называется линейным. Если f(x) º 0, то уравнение (1) называется однородным, в противном случае — неоднородным. Общее решение y0 = y0(x) однородного Линейные дифференциальные уравнения при условии непрерывности его коэффициентов pk(x) выражается формулой: y0 = C1y1(x) + С2у2(х) + ... + Cnyn(x),
где C1, C2,..., Cn — произвольные постоянные и y1(x), у2(х),..., yn(x) — линейно независимые (см. Линейная зависимость) частные решения, образующие т. н. фундаментальную систему решений. Критерием линейной независимости решений служит неравенство нулю (хотя бы в одной точке) определителя Вроньского (вронскиана):
где y0 = y0(x) — общее решение соответствующего однородного Линейные дифференциальные уравнения и Y = Y(x) — частное решение данного неоднородного Линейные дифференциальные уравнения Функция Y(x) может быть найдена по формуле:
где yk(x) — решения, составляющие фундаментальную систему решений однородного Линейные дифференциальные уравнения, и Wk(x) — алгебраическое дополнение элемента yk(n-1)(x) в определителе (2) Вроньского W(x).
где yj1, yj2, ..., yjn — линейно независимые частные решения однородной системы (т. е. такие, что определитель ½yjk(x)½ ¹ 0 хотя бы в одной точке). и mk — кратность этих корней. Полный анализ всех возможных здесь случаев проводится с помощью теории элементарных делителей [см. Нормальная (жорданова) форма матриц]. Для решения Линейные дифференциальные уравнения и систем Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами применяются также методы операционного исчисления. Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 20 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1970.
Статья про "Линейные дифференциальные уравнения" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 545 раз |
TOP 20
|
|||||||