Линейное преобразование

Определение "Линейное преобразование" в Большой Советской Энциклопедии

Линейное преобразование переменных x₁, x₂, ..., x_n — замена этих переменных на новые x"₁, x’₂, ..., x"_n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:
x₁ = a₁₁x’₁ + a₁₂x’₂ + ... + a_nnx’_n + b₁,
  x₂ = a₂₁x’₁ + a₂₂x’₂ + ... + a_2nx’_n + b₂,
  ...
  x_n = a_n1x’₁ + _an2x’₂ + ... + a_nnx’_n + b_n,

  здесь a_ij и b_i (i, j = 1,2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты. Если b₁, b₂,..., b_n все равны нулю, то Линейное преобразование переменных называют однородным.
Простейшим примером Линейное преобразование переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости
х = x" cos a - y" sin a + a,
  у = x" sin a + y" cos a + b.

  Если определитель D = ½a_ij ½, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x"₁, x"₂, ..., x"_n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат

и
x’ =x cos a + ysin a + a₁
  y’ = -x sin a + cos a + b₁

  где a₁ = - a cos a - b sin a, b₂ = a sin a - b cos (. Другими примерами Линейное преобразование переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.

Линейное преобразование векторов (или Линейное преобразование векторного пространства) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x", координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х:
x’₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... +a_1nx_n
  x’₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... +a_2nx_n
  ...
  x’_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... +a_nnx_n,
  или коротко
x" = Ax.

  Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Линейное преобразование трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x", y"., z" которого выражаются через х, у, z следующим образом : x" = х, y" = у, z" = 0. Пример Линейное преобразование плоскости — поворот её на угол a вокруг начала координат. Матрицу
,

составленную из коэффициентов Линейное преобразование А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Линейное преобразование проектирования и поворота будут соответственно
 и .

Линейное преобразование векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х®у = Ax называют Линейное преобразование, если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ау и A(ax) = aА(х) для любых векторов х и у и любого числа a. В разных системах координат одному и тому же Линейное преобразование будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К Линейное преобразование относится, в частности, нулевое Линейное преобразование О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Линейное преобразование Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для Линейное преобразование векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Линейное преобразование А и В называют Линейное преобразование С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Линейное преобразование А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх).

  В силу этих определений совокупность всех Линейное преобразование векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения) Линейное преобразование равна сумме (произведению) матриц Линейное преобразование слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности. Линейное преобразование можно также умножать на числа: если Линейное преобразование А переводит вектор х в вектор у = Ax, то aА переводит х в aу. Примеры операций над Линейное преобразование: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В — повороты плоскости вокруг начала координат на углы j и ; AB будет поворотом на угол j + . 3) Произведение единичного Линейное преобразование Е на число a будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) a.

Линейное преобразование В называют обратным к Линейное преобразование А (и обозначают А^-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Линейное преобразование А переводило вектор х в вектор у, то Линейное преобразование А^-1 переводит у обратно в х. Линейное преобразование, обладающее обратным, называют невырожденным; такие Линейное преобразование характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Линейное преобразование заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные — в комплексных пространствах) Линейное преобразование Ортогональные Линейное преобразование не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Линейное преобразование в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: å_ka_ika_jk = å_ka_kia_kj = 0 при i ¹ j, å_ka²_ik = å_ka²_ki = 1 (в комплексном пространстве å_ka_ikjk = å_ka_kikj = 0, å_k|a_jk|² = å_k|a_ki|² = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, — в комплексном пространстве) Линейное преобразование называют такое Линейное преобразование, матрица которого симметрическая: a_ij = a_ji (или (a_ij = _ij). Симметрические Линейное преобразование осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Линейное преобразование связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).

Приведённое выше определение Линейное преобразование в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Линейное преобразование в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами.
 

  Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.