БНБ "БСЭ" (95279) - Photogallery - Естественные науки - Математика - Технология
|
Векторное пространствоОпределение "Векторное пространство" в Большой Советской ЭнциклопедииВекторное пространство, математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.
Определение Векторное пространство Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа (см. Векторное исчисление). В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям (условия А):
Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям А (условия 1—3 выражают, что операция сложения, определённая в Векторное пространство, превращает его в коммутативную группу). Выражение называется линейной комбинацией векторов e1, e2,..., en с коэффициентами a1, a2,..., an. Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, если хотя бы один из коэффициентов a1, a2,..., an отличен от нуля. Векторы e1, e2,..., en называются линейно зависимыми, если существует нетривиальная комбинация (1), представляющая собой нулевой вектор. В противном случае (то есть если только тривиальная комбинация векторов e1, e2,..., en равна нулевому вектору) векторы e1, e2,..., en называется линейно независимыми. Векторы (свободные) трёхмерного пространства удовлетворяют следующему условию (условие В): существуют три линейно независимых вектора; любые четыре вектора линейно зависимы (любые три ненулевых вектора, не лежащие в одной плоскости, являются линейно независимыми).
Векторное пространство называется n-мepным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов e1, e2,..., en, а любые n + 1 элементов линейно зависимы (обобщённое условие В). Векторное пространство называются бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мepного Векторное пространство образуют базис этого пространства. Если e1, e2,..., en — базис Векторное пространство, то любой вектор х этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов: Примеры Векторное пространство Множество всех векторов трёхмерного пространства образует, очевидно, Векторное пространство Более сложным примером может служить так называемое n-мерное арифметическое пространство. Векторами этого пространства являются упорядоченные системы из n действительных чисел: l 1, l 2,..., l n. Сумма двух векторов и произведение на число определяются соотношениями:
(l1, l2, …, ln) + (m1, m2, …, mn) = (l1 + m1, l2 + m2, …, ln + mn); Базисом в этом пространстве может служить, например, следующая система из n векторов e1 = (1, 0,..., 0), e2 = (0, 1,..., 0),..., en = (0, 0,..., 1). Множество R всех многочленов a0 + a1u + … + anun (любых степеней n) от одного переменного с действительными коэффициентами a0, a1,..., an с обычными алгебраическими правилами сложения многочленов и умножения многочленов на действительные числа образует Векторное пространство Многочлены 1, u, u2,..., un (при любом n) линейно независимы в R, поэтому R — бесконечномерное Векторное пространство Многочлены степени не выше n образуют Векторное пространство размерности n + 1; его базисом могут служить многочлены 1, u, u2,..., un. Подпространства Векторное пространство В. п. R" называется подпространством R, если R" Í R (то есть каждый вектор пространства R" есть и вектор пространства R) и если для каждого вектора v Î r" и для каждых двух векторов v1 и v2 (v1, v2 Î R") вектор lv (при любом l) и вектор v1 + v2 один и тот же независимо от того, рассматриваются ли векторы v, v1, v2 как элементы пространства R" или R. Линейной оболочкой векторов x1, x2,... xp называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов, то есть векторов вида a1x1 + a2x2 + … + apxp. В трёхмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x1 будет, очевидно, совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x1. Линейной оболочкой двух не лежащих на одной прямой векторов x1 и x2 будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x1 и x2. В общем случае произвольного Векторное пространство R линейная оболочка векторов x1, x2,..., xp этого пространства представляет собой подпространство пространства R размерности р. В n-мерном Векторное пространство существуют подпространства всех размерностей, меньших р. Всякое конечномерное (данной размерности k) подпространство R" Векторное пространство R есть линейная оболочка любых k линейно независимых векторов, лежащих в R". Пространство, состоящее из всех многочленов степени £ n (линейная оболочка многочленов 1, u, u2,..., un), есть (n + 1)-мepное подпространство пространства R всех многочленов.
Евклидовы пространства. Для развития геометрических методов в теории Векторное пространство нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т.п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:
Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством. Длина |x| вектора x и угол между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение формулами
Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство En получим, определяя в n-мepном арифметическом Векторное пространство скалярное произведение векторов x = (l1, …, ln) и y = (m1, …, mn) соотношением
В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у) = 0. В рассмотренном пространстве En условие ортогональности векторов x = (l1, …, ln) и y = (m1, …, mn), как это следует из соотношения (2), имеет вид:
Применение В. п. Понятие Векторное пространство (и различные обобщения) широко применяется в математике и её приложениях к естествознанию. Пусть, например, R — множество всех решений линейного однородного дифференциального уравнения yn + a1(x) y (n + 1) + … + an (x) y = 0. Ясно, что сумма двух решений и произведение решения на число являются решениями этого уравнения. Таким образом, R удовлетворяет условиям А. Доказывается, что для R выполнено обобщённое условие В. Следовательно, R является Векторное пространство Любой базис в рассмотренном Векторное пространство называется фундаментальной системой решений, знание которой позволяет найти все решения рассматриваемого уравнения. Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:
Рассмотрим в евклидовом пространстве En векторы ai = (ai1, ai2, …, ain), i = 1, 2,..., n и вектор-решение u = (u1, u2,..., un). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов En, придадим системе (4) следующий вид:
Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам ai. Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов ai, то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов ai. Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства. Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С.
Статья про "Векторное пространство" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 640 раз |
TOP 20
|
|||||||