Метатеория

Определение "Метатеория" в Большой Советской Энциклопедии

Метатеория (от мета...), теория, анализирующая структуру, методы и свойства какой-либо другой теории — т. н. предметной теории, или объектной. Термин «Метатеория» осмысленно употребляется лишь по отношению к некоторой конкретной предметной теории; так, Метатеория логики называют металогикой, Метатеория математики — метаматематикой; аналогичный смысл имеют термины «метахимия», «метабиология» и т. п. (за исключением «метафизики»). В принципе можно говорить о Метатеория любой научной дисциплины, как дедуктивной, так и недедуктивной (например, метатеоретическая роль в известном смысле играет философия); однако по-настоящему продуктивным понятие Метатеория оказывается в применении именно к дедуктивным наукам: математике, логике и математизированным фрагментам естествознания и др. наук (например, лингвистики). Более того, фактическим объектом рассмотрения в Метатеория оказывается, как правило, не сама по себе та или иная содержательная научная теория, а её формальный аналог и экспликат — точное понятие исчисления (формальной системы); если же подлежащая исследованию в Метатеория теория носит содержательный характер, то она предварительно подвергается формализации. Т. о., часть Метатеория, изучающая структуру своей предметной теории, имеет дело с ней именно как с формальной системой, т. е. воспринимает её элементы как лишённые какого бы то ни было «содержания» (смысла) чисто формальные конструктивные объекты, строго идентифицируемые (или, наоборот, различаемые) между собой, из которых по четко сформулированным правилам образования строятся знакосочетания, являющиеся «выражениями» (формулами) данной формальной системы. Эта часть Метатеория — т. н. синтаксис — изучает также дедуктивные средства рассматриваемой предметной теории (см. Дедукция); в ней, в частности, определяется понятие (формального) доказательства для данной предметной теории, а также более общее понятие вывода из данных посылок. Сама Метатеория, в отличие от предметной теории, есть теория содержательная: характер используемых в ней средств описания, рассуждения и доказательства может быть каким-либо специальным образом оговорён и ограничен, но во всяком случае сами эти средства суть содержательно понимаемые элементы обычного (естественного) языка и «логики здравого смысла». Основное содержание Метатеория составляют метатеоремы, или «теоремы о теоремах». Примером синтаксической метатеоремы может служить теорема о дедукции, устанавливающая связь между понятием выводимости (доказуемости) в данной предметной теории (например, в исчислении высказываний или исчислении предикатов) и логической операцией импликации, входящей в «алфавит» данной предметной теории.

В круг интересов Метатеория входит также рассмотрение всевозможных интерпретаций исследуемой формальной системы; соответствующая часть (или аспект) Метатеория, воспринимающая предметную теорию как формализованный язык, называют семантикой (см. Логическая семантика). Примером семантической метатеоремы является теорема о полноте классического исчисления высказываний, согласно которой для этого исчисления понятия доказуемой формулы (формальной теоремы) и формулы, истинной при некоторой «естественной» его интерпретации, совпадают.

Многие понятия Метатеория (и относящиеся к ним метатеоремы) носят «смешанный» характер: и синтаксический, и семантический. Таково, например, важнейшее понятие непротиворечивости, определяемое и как невыводимость в предметной теории формального противоречия (т. е. конъюнкции некоторой формулы и её отрицания; т. н. внутренняя непротиворечивость), и как «соответствие» данной предметной теории некоторой её «естественной» интерпретации (т. н. внешняя, или семантическая, непротиворечивость); совпадение обоих этих понятий по объёму есть нетривиальный факт Метатеория, относящийся, очевидно, и к синтаксису, и к семантике данной теории. Классическим примером метатеоремы, связывающей ряд важнейших синтаксических и семантических понятий, являются теоремы Гёделя о неполноте формальной арифметики (и содержащих её более богатых логико-математических исчислений) и о невозможности доказательства непротиворечивости широкого класса исчислений формализуемыми в этих исчислениях средствами. Понятие разрешимости формальной теории носит, напротив, чисто синтаксический характер, а понятие полноты — по преимуществу семантический. Метатеория, конечно, сама может быть формализована и быть предметом изучения некоторой метаметатеории и т. д.

Понятие «Метатеория» впервые было выдвинуто Д. Гильбертом в связи с его программой обоснования классической математики средствами создаваемой его школой теории доказательств (метаматематики). Ряд важнейших метатеоретических результатов (главным образом семантического содержания) был получен А. Тарским. В развитие идей Тарского и Р. Карнапа, Х. Б. Карри называет Метатеория «эпитеорией», резервируя термин «Метатеория » для некоторого более специального словоупотребления. См. также Аксиоматический метод, Метаязык, Математический формализм.

Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., Метатеория, 1957, гл. III—VIII, XIV, XV; Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, Метатеория, 1960 (введение); его же. Математическая логика, пер. с англ., Метатеория, 1973; Карри Х. Б., Основания математической логики, пер с англ., Метатеория, 1969, гл. 2—3.
  Ю. А. Гастев.