Минимальная логика

Определение "Минимальная логика" в Большой Советской Энциклопедии

Минимальная логика, логическая система, являющаяся ослаблением интуиционистской логики и конструктивной логики за счёт исключения из числа постулатов формулы ùА É (А É В) (интерпретируемой как «из противоречия следует всё что угодно»). Несмотря на недоказуемость этого логического принципа и тем более формулы ù ù А É А («закона снятия двойного отрицания»), в минимальном исчислении высказываний (А. Н. Колмогоров, 1925, норвежский логик И. Иоганссон, 1936) можно доказать от противного отрицательные предложения, опираясь на «закон приведения к абсурду»: (А É В) É ((A É ù В) É ù А). Эту систему можно обычным образом расширить до минимального исчисления предикатов, играющего важную роль в работах по основаниям математики: его логические средства (хотя это явно и не оговаривается) используются, например, в доказательствах непротиворечивости классической арифметики, предложенных немецкими логиками Г. Генценом (1936, 1938) и К. Шютте (1951) и П. С. Новиковым (1943) (см. Метаматематика). Это исчисление используется также как логическая база метатеории в работах по ультраинтуиционистскому обоснованию математики (см. Аксиоматическая теория множеств, Аксиоматический метод). Ослабление (сужение) Минимальная логика посредством исключения из числа аксиом «закона приведения к абсурду» приводит к положительной логике.

  Лит.: Колмогоров А. Н., О принципе tertium non datur, «Математический сборник», 1925, т. 32, в. 4, с. 646-67; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 94, 490-91; Johansson J., Der Minimalkalkül, ein reduzierter Formalismus, «Compositio mathematica», 1937, v, 4, fasc. 1; Wajsberg M., Untersuchungen über den Aussagenkalkül von A. Heyting, «Wiadomosci Mathematyczne», 1939, t. 46.
  Ю. А. Гастев.