Положительная логика

Определение "Положительная логика" в Большой Советской Энциклопедии

Положительная логика, логика, в которой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями, т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение «А - ложно» есть лишь иная форма выражения «не-А», в Положительная логика отказываются от любых способов введения отрицания, к числу которых относятся приёмы косвенных доказательств, в том числе доказательств от противного, а также явные определения отрицания типа ù А = _dfA (f, где ù - знак отрицания, É - импликация, а f - пропозициональная переменная или какое-либо «допустимое» абсурдное утверждение. Положительная логика можно назвать, таким образом, логикой без отрицания.

Логические законы, соответствующие правильным рассуждениям в Положительная логика (или же правила, кодифицирующие способы таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических исчислениях, из которых важнейшими являются положительное импликативное исчисление высказываний с единственной логической операцией - импликацией, и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и эквиваленцией.

Положительное импликативное исчисление высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика) задаётся с помощью двух аксиомных схем:
1. А É (В É A),
2. (A É (В É С)) É ((А É В) É (А É C)
  и правила modus ponens; полное положительное исчисление высказываний - добавлением к схемам (1) и (2) следующих:
3. (А & В) É А,
4. (A & В) É В,
  5. А É (В É (A & В)),

6. (A É С) É ((B É С) É ((А Ú В) É C)),
7. А É (A ÚB),
8. В É (A Ú B)

и определения эквиваленции как сокращения для выражения (А É В) & (В É А). Более сильные логические исчисления получаются из исчислений Положительная логика последовательным неконсервативным расширением (усилением) их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной схемы
9. (А É В) É ((А Éù В) É ù А)

или соответствующего ей правила reductio ad absurdum даёт минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное добавление к полному положительному исчислению высказываний - минимальную логику Иохансона (1936). Присоединяя: к последней схему
10. ù А É (А É В)
(противоречие влечёт произвольное утверждение) и схему
11. ù А (А
(исключенного третьего принцип), получают соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.

Поскольку все законы Положительная логика имеют силу (доказуемы) в интуиционистской и классической логике (обратное, естественно, неверно), положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы - вообще как «частичные системы». Существенно, однако, что положительные исчисления, взятые «сами по себе», и «те же» исчисления «внутри» более сильной логики - это исчисления с различной семантикой логических связок (операций), которая для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.
Лит.: Чёрч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, § 26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 1:1, §§ 2-6.
  М. М. Новосёлов.