Многомерное пространство

Определение "Многомерное пространство" в Большой Советской Энциклопедии


Многомерное пространство, пространство, имеющее число измерений (размерность) более трёх. Обычное евклидово пространство, изучаемое в элементарной геометрии, трёхмерно; плоскости — двумерны, прямые — одномерны. Возникновение понятия Многомерное пространство связано с процессом обобщения самого предмета геометрии. В основе этого процесса лежит открытие отношений и форм, сходных с пространственными, для многочисленных классов математических объектов (зачастую не имеющих геометрического характера). В ходе этого процесса постепенно выкристаллизовалась идея абстрактного математического пространства как системы элементов любой природы, между которыми установлены отношения, сходные с теми или иными важными отношениями между точками обычного пространства. Наиболее общее выражение эта идея нашла в таких понятиях, как топологическое пространство и, в частности, метрическое пространство.


  Простейшими Многомерное пространство являются n-мерные евклидовы пространства, где n может быть любым натуральным числом. Подобно тому, как положение точки обычного евклидова пространства определяется заданием трёх её прямоугольных координат, «точка» n-мерного евклидова пространства задаётся n «координатами» x1, x2, ..., xn (которые могут принимать любые действительные значения); расстояние r между двумя точками M(x1, x2, ..., xn) и М"(у1, y2, ..., yn) определяется формулой


аналогичной формуле расстояния между двумя точками обычного евклидова пространства. С сохранением такой же аналогии обобщаются на случай n-мерного пространства и другие геометрические понятия. Так, в Многомерное пространство рассматриваются не только двумерные плоскости, но и k-мерные плоскости (k < n), которые, как и в обычном евклидовом пространстве, определяются линейными уравнениями (или системами таких уравнений).


Понятие n-мерного евклидова пространства имеет важные применения в теории функций многих переменных, позволяя трактовать функцию n переменных как функцию точки этого пространства и тем самым применять геометрические представления и методы к изучению функций любого числа переменных (а не только одного, двух или трёх). Это и было главным стимулом к оформлению понятия n-мерного евклидова пространства.


Важную роль играют и другие Многомерное пространство Так, при изложении физического принципа относительности пользуются четырёхмерным пространством, элементами которого являются т. н. «мировые точки». При этом в понятии «мировой точки» (в отличие от точки обычного пространства) объединяется определённое положение в пространстве с определённым положением во времени (поэтому «мировые точки» и задаются четырьмя координатами вместо трёх). Квадратом «расстояния» между «мировыми точками» М’(х’, y’, z’, t’) и М’’(х’’, y’’, z’’, t’’) (где первые три «координаты» — пространственные, а четвёртая — временная) естественно считать здесь выражение


(M’ M’’)2 = (x’ - x’’)2 + (y’ y’’)2 + (z’z’’)2c2(t’ t’’)2,
где с — скорость света. Отрицательность последнего члена делает это пространство «псевдоевклидовым».


Вообще n-мерным пространством называется топологическое пространство, которое в каждой своей точке имеет размерность n. В наиболее важных случаях это означает, что каждая точка обладает окрестностью, гомеоморфной открытому шару n-мерного евклидова пространства.


Подробнее о развитии понятия Многомерное пространство, геометрии Многомерное пространство, а также лит. см. в ст. Геометрия.



"БСЭ" >> "М" >> "МН"

Статья про "Многомерное пространство" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 10 раз
Пицца в сковороде
Гороховое пюре

TOP 20