Несобственные интегралы

Определение "Несобственные интегралы" в Большой Советской Энциклопедии

Несобственные интегралы, обобщение классического понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования (см. Интеграл). Определённый интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь определённое конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных на конечном интервале. Поэтому, если интервал интегрирования или подынтегральная функция не ограничены, для определения интеграла требуется ещё один предельный переход: получающиеся при этом интегралы называются несобственными интегралами.
Если функция f (x) интегрируема на любом конечном отрезке [a, N] и если существует

то его называют Н. п. функции f (x) на интервале [а, ¥] и обозначают

В этом случае говорят, что Несобственные интегралы сходится. Когда этот предел, а значит и Несобственные интегралы, не существует, то иногда говорят, что Несобственные интегралы расходится. Например,

сходится при g > 1 и расходится при g £ 1. Аналогично определяют Несобственные интегралы на интервалах
[—¥, b] и [—¥, ¥].

Если функция f (x), заданная на отрезке [a, b], не ограничена в окрестности точки a, но интегрируема на любом отрезке [а + e, b], 0 < e < b - a и если существует

то его называют Несобственные интегралы функции f (x) на [а, b] и записывают обычным образом:

  Аналогично поступают, если f (x) не ограничена в окрестности точки b.
  Если существует Несобственные интегралы

или

то говорят, что Несобственные интегралы

или

абсолютно сходится: если же последние интегралы сходятся (но первые расходятся), то Несобственные интегралы

или

называются условно сходящимися.

Задачи, приводящие к Несобственные интегралы, рассматривались в геометрической форме Э. Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения Несобственные интегралы даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся Несобственные интегралы установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению Несобственные интегралы в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Основными приемами вычисления Несобственные интегралы являются дифференцирование и интегрирование по параметру, разложение в ряды, применение теории вычетов. Значения многих Несобственные интегралы приводятся в различных таблицах.

Несобственные интегралы имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде Несобственные интегралы, зависящих от параметра, например

(см. Гамма-функция). К Несобственные интегралы относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при др. интегральных преобразованиях. Решения краевых задач математической физики записываются кратными Несобственные интегралы с неограниченной подинтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет Несобственные интегралы

в теории диффракции света — Несобственные интегралы

В ряде случаев расходящимся Несобственные интегралы можно приписать определённое значение (см. Суммирование). В частности, если интеграл

расходится, но существует

то А называется главным значением Несобственные интегралы и обозначают

  Так,

Аналогично вводится главное значение Несобственные интегралы от неограниченных функций. В работах Н. И. Мусхелишвили и его учеников построена теория интегральных уравнений, содержащих Несобственные интегралы, понимаемые в смысле главного значения.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 20 изд., т. 2, М. — Л., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд. т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970.