Поле (алгебраич.)

Определение "Поле (алгебраич.)" в Большой Советской Энциклопедии

Поле алгебраическое, важное алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения.

Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия (основные — сложение и умножение, и обратные им — вычитание и деление). Этим же характеризуются и Поле (алгебраич.) Полем называется всякая совокупность (или множество) элементов, над которыми можно производить два действия — сложение и умножение, подчиняющиеся обычным законам (аксиомам) арифметики:

I. Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны, т. е. a + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c.

  II. Существует элемент 0 (нуль), для которого всегда а + 0 = а; для каждого элемента а существует противоположный -а, и их сумма равна нулю. Отсюда следует, что в Поле (алгебраич.) выполнима операция вычитания а - b.

  III. Существует элемент е (единица), для которого всегда ае = а; для каждого отличного от нуля элемента а существует обратный a^-1; их произведение равно единице. Отсюда следует возможность деления на всякое не равное нулю число а.
 IV. Связь между операциями сложения и умножения даётся дистрибутивным законом: a (b + c) = ab + ac.
  Приведём несколько примеров Поле (алгебраич.):
1) Совокупность Р всех рациональных чисел.
2) Совокупность R всех действительных чисел.
3) Совокупность К всех комплексных чисел.
4)  Множество всех рациональных функций от одного или от нескольких переменных, например с действительными коэффициентами.
5)  Множество всех чисел вида а + b , где а и b — рациональные числа.

6) Выбрав простое число р, разобьем целые числа на классы, объединив в один класс все числа, дающие при делении на р один и тот же остаток. Возьмём в двух классах по представителю и сложим их; тот класс, в который попадёт эта сумма, назовем суммой выбранных классов. Аналогично определяется произведение. При таком определении сложения и умножения все классы образуют Поле (алгебраич.); оно состоит из р элементов.

Из аксиом I, II следует, что элементы Поле (алгебраич.) образуют коммутативную группу относительно сложения, а из аксиом I, III — то, что все отличные от 0 элементы Поле (алгебраич.) образуют коммутативную группу относительно умножения.

Может оказаться, что в Поле (алгебраич.) равно нулю целое кратное na какого-либо отличного от нуля элемента а. В этом случае существует такое простое число р, что р-кратное pa любого элемента а этого Поле (алгебраич.) равно нулю. Говорят, что в этом случае характеристика Поле (алгебраич.) равна р (пример 6). Если na ¹ 0 ни для каких отличных от нуля n и а, то считают характеристику Поле (алгебраич.) равной нулю (примеры 1—5).

Если часть F элементов поля G сама образует Поле (алгебраич.) относительно тех же операций сложения и умножения, то F называется подполем поля G, а G — надполем, или расширением поля F. Поле (алгебраич.), не имеющее подполей, называется простым. Все простые Поле (алгебраич.) исчерпываются Поле (алгебраич.) примеров 1 и 6 (при всевозможных выборах простого числа р). В каждом Поле (алгебраич.) содержится единственное простое подполе (Поле (алгебраич.) примеров 2—5 содержат Поле (алгебраич.) рациональных чисел). Естественно было бы поставить такую задачу: отправляясь от простого Поле (алгебраич.), получить описание всех Поле (алгебраич.), изучив структуру расширений; приводимая ниже теорема Штейница делает шаг именно в этом направлении.

Некоторые расширения имеют сравнительно простое строение. Это — а) простые трансцендентные расширения, которые сводятся к тому, что за поле G берётся Поле (алгебраич.) всех рациональных функций от одного переменного с коэффициентами из F, и б) простые алгебраические расширения (пример 5), которые получаются, если совокупность G всех многочленов степени n складывать и умножать по модулю данного неприводимого над F многочлена f (x) степени n (конструкция, аналогичная примеру 6). Расширения второго типа сводятся к тому, что мы добавляем к F корень многочлена f (x) и все те элементы, которые можно выразить через этот корень и элементы F; каждый элемент надполя G является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из F. Расширения, обладающие последним свойством, называется алгебраическими. Любое расширение можно выполнить в два приёма: сначала совершить трансцендентное расширение (образовав Поле (алгебраич.) рациональных функций, не обязательно от одной переменной), а затем алгебраическое (теорема Штейница). Алгебраических расширений не имеют только такие Поле (алгебраич.), в которых каждый многочлен разлагается на линейные множители. Такие Поле (алгебраич.) называются алгебраически замкнутыми. Поле (алгебраич.) комплексных чисел является алгебраически замкнутым (алгебры основная теорема). Любое Поле (алгебраич.) можно включить в качестве подполя в алгебраически замкнутое.

Некоторые Поле (алгебраич.) специального вида подверглись более детальному изучению. В теории алгебраических чисел рассматриваются главным образом простые алгебраические расширения Поле (алгебраич.) рациональных чисел. В теории алгебраических функций исследуются простые алгебраические расширения Поле (алгебраич.) рациональных функций с комплексными коэффициентами; значительное внимание уделяется конечным расширениям Поле (алгебраич.) рациональных функций над произвольным Поле (алгебраич.) констант (т. е. с произвольными коэффициентами). Конечные расширения Поле (алгебраич.), в особенности их автоморфизмы (см. Изоморфизм), изучаются в теории Галуа (см. Галуа теория); здесь находят ответ многие вопросы, возникающие при решении алгебраических уравнений. Во многих вопросах алгебры, особенно в различных отделах теории Поле (алгебраич.), большую роль играют нормированные поля. В связи с геометрическими исследованиями появились и изучались упорядоченные Поле (алгебраич.)

См. также Алгебра, Алгебраическое число, Алгебраическая функция, Кольцо алгебраическое.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 10 изд., М., 1971; Ван дер Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., [2 изд.], ч. 1—2, М. — Л., 1947; Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических функций, М.— Л., 1948; его же, Основы теории Галуа. ч. 1—2, Л. — М., 1934—37; Вейль Г., Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1947.