Полугруппа

Определение "Полугруппа" в Большой Советской Энциклопедии

Полугруппа, одно из основных понятий современной алгебры. Полугруппа называется множество с определённой на нём операцией, подчинённой закону ассоциативности. Понятие Полугруппа есть обобщение понятия группы: из аксиом группы остаётся лишь одна; этим объясняется и термин «Полугруппа». Примеры Полугруппа в математике весьма многочисленны. Это различные множества чисел вместе с операцией сложения или умножения, замкнутые относительно рассматриваемой операции (т. е. содержащие вместе с любыми двумя своими элементами их сумму или, соответственно, произведение), Полугруппа матриц относительно умножения, Полугруппа функций относительно операции умножения, Полугруппа множеств относительно операции пересечения или объединения и т.д. Один из простейших примеров Полугруппа — множество всех натуральных чисел относительно сложения; эта Полугруппа является частью (подполугруппой) группы целых чисел по сложению или, как говорят, вложима в группу целых чисел. Следует отметить, что далеко не всякая Полугруппа вложима в группу.

В общей теории и некоторых приложениях важен следующий пример Полугруппа Пусть Х — произвольное множество и пусть на множестве F_x всех конечных последовательностей элементов из Х определена операция _*, заданная формулой
(x₁,..., x_n) _* (y₁,..., ym) = (x₁,..., x_n, y₁,..., ym).

  Тогда F_x относительно операции _* является Полугруппа; она называется свободной Полугруппа на множестве X. Всякая Полугруппа есть гомоморфный образ (см. Гомоморфизм) некоторой свободной Полугруппа

Всякая совокупность преобразований произвольного множества М, замкнутая относительно операции композиции (последовательного выполнения), будет Полугруппа относительно этой операции; такова, в частности, совокупность всех преобразований множества М, называется симметрической Полугруппа на множестве М. Многие важные совокупности преобразований оказываются Полугруппа, причём часто они не являются группами. С другой стороны, всякая Полугруппа изоморфна (см. Изоморфизм) некоторой Полугруппа преобразований. Таким образом, именно понятие Полугруппа оказывается наиболее подходящим для изучения в самом общем виде преобразований. В большой степени через рассмотрение преобразований осуществляются связи теории Полугруппа с другими областями математики, такими, например, как современная дифференциальная геометрия, функциональный анализ, абстрактно-алгебраическая теория автоматов.

Первые исследования, посвященные Полугруппа, относятся к 20-м гг. 20 в. К концу 50-х гг. теория Полугруппа сформировалась в самостоятельную ветвь современной алгебры и продолжает активно разрабатываться. Изучением абстрактных (т. е. не зависящих от конкретной природы элементов) свойств всевозможных ассоциативных операций занимается т. н. алгебраическая теория Полугруппа Одна из главных её задач состоит в описании строения различных Полугруппа, их классификации. Наложение на полугрупповую операцию тех или иных дополнительных ограничений выделяет ряд важных типов Полугруппа, среди которых т. н. вполне простые Полугруппа, инверсные Полугруппа и др. Заметную часть общей теории составляет теория представлений Полугруппа преобразованиями и матрицами. Внесение в Полугруппа дополнительных структур, согласованных с полугрупповой операцией, выделяет особые разделы теории Полугруппа, таких, как, например, теория топологических Полугруппа

Лит.: Сушкевич А. К., Теория обобщенных групп, Хар. — К., 1937; Ляпин Е. С., Полугруппы, М., 1960; Клиффорд А. Х., Престон Г. Б., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1—2, М., 1972; Hofmann К., Mostert P., Elements of compact semigroups, Columbus (Ohio), 1966.
  Л. Н. Шеврин.