Полунепрерывная функция

Определение "Полунепрерывная функция" в Большой Советской Энциклопедии

Полунепрерывная функция, понятие математического анализа. Полунепрерывная функция снизу (сверху) в точке х₀ называется функция, для которой f (x) = f (x₀) [соответственно f (x) = f (x₀)]. Иначе, функция полунепрерывна снизу в точке x₀, если для всякого e > 0 найдётся такое d > 0, что из |x - x₀| < d вытекает f (x₀) -— f (x) < e (не по абсолютной величине!). Функция, полунепрерывная и снизу и сверху, непрерывна в обычном смысле. Ряд свойств Полунепрерывная функция аналогичен свойствам непрерывных функций (см. Непрерывная функция). Например: 1) если f (x) и g (x) Полунепрерывная функция снизу, то и их сумма и произведение Полунепрерывная функция снизу; 2) Полунепрерывная функция снизу на отрезке достигает своего наименьшего значения. Для рядов Полунепрерывная функция снизу верно, например, следующее утверждение: если u_n ³ 0 и все u_n (x) Полунепрерывная функция снизу, то сумма ряда å^¥_n=1u_n (x) Полунепрерывная функция снизу. Полунепрерывная функция принадлежат к функциям первого класса по Бэра классификации.