Приближённое решение

Определение "Приближённое решение" в Большой Советской Энциклопедии

Приближённое решение дифференциальных уравнений, получение аналитических выражений (формул) или численных значений, приближающих с той или иной степенью точности искомое частное решение дифференциального уравнения.

Приближённое решение дифференциальных уравнений в виде аналитического выражения может быть найдено методом рядов (степенных, тригонометрических и др.), методом малого параметра, последовательных приближений методом, Ритца и Галёркина методами, Чаплыгина методом. Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения Приближённое решение останавливаются на некотором шаге процесса.

Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за Приближённое решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y" = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х₀) = y₀, причём известно, что f (x, у) — аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х₀, y₀). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда:
y (x) - y (x₀) = .
  Коэффициенты A_k ряда могут быть найдены либо по формулам:
A₁ = y’₀ = f (x₀, y₀);


либо с помощью неопределенных коэффициентов метода. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х — х₀.

  Часто (например, при изучении периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречается случай, когда уравнение состоит из членов двоякого вида: главных и второстепенных, причём второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Обычно после отбрасывания второстепенных членов получается уравнение, допускающее точное решение. Тогда решение основного уравнения можно искать в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения без второстепенных членов, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия). Метод малого параметра был использован при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое обоснование этого метода дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре.

  К численным методам относятся методы, позволяющие находить Приближённое решение при некоторых значениях аргумента (т. е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов.
Поясним эти методы на примере уравнения
y’’ = f (x, у)

с начальным условием у (х₀) = y₀. Пусть точное решение этого уравнения представлено в некоторой окрестности точки х₀ в виде ряда по степеням h = х — х₀ Основной характеристикой точности формул Приближённое решение дифференциальных уравнений является требование, чтобы первые k членов разложения в ряд по степеням h Приближённое решение совпадали с первыми k членами разложения в ряд по степеням h точного решения.

Основная идея метода Эйлера заключается в применении метода рядов для вычисления приближённых значений решения у (х) в точках x₁, x₂,..., x_n некоторого фиксированного отрезка [х₀, b] Так, для того чтобы вычислить у (х₁), где х₁ = х₀ + h, h = (b — x₀)/n, представляют у (х₁) в виде конечного числа членов ряда по степеням h = х₁ — х₀. Например, ограничиваясь первыми двумя членами ряда, получают для вычисления у (xk) формулы:
,

Это т. н. метод ломаных Эйлера (на каждом отрезке [xk_, x_k+1] интегральная кривая заменяется прямолинейным отрезком — звеном ломаной Эйлера). Погрешность метода пропорциональна h².

  В методе Рунге вместо того, чтобы отыскивать производные, находят такую комбинацию значений f (x, у) в некоторых точках, которая даёт с определённой точностью несколько первых членов степенного ряда для точного решения уравнения. Например, правая часть формулы Рунге:
,
где
;
;
;

дает первые пять членов степенного ряда с точностью до величин порядка h⁵.

  В разностных формулах Приближённое решение удаётся несколько раз использовать уже вычисленные значения правой части. Решение ищется в виде линейной комбинации у (xi), h_i и разностей Dⁱh_j, где
h_j = hf (x_j, y_j); Dh_j = h_j+1 - h_j;
Dⁱh_j = D^i-1h_j+1 - D^i-1h_j.
Примером разностной формулы Приближённое решение является экстраполяционная формула Адамса. Так, формула Адамса, учитывающая «разности» 3-го порядка:

даёт решение у (х) в точке x_k с точностью до величин порядка h⁴.
Для уравнений 2-го порядка можно получить формулы численного интегрирования путём двукратного применения

Формула	k = 2	k = 3	k = 4
(1 + x)3 » 1 + 3x	0,04	0,012	0,004
	0,06	0,022	0,007
	0,19	0,062	0,020
	0,20	0,065	0,021
	0,31 (17°48")	0,144 (8°15")	0,067 (3°50")
	0,10 (5°43")	0,031 (l"48")	0,010 (0°34")
	0,25 (14°8")	0,112 (6°25")	0,053 (3°2")
	0,14	0,47	0,015
	0,04	0,014	0,004
	0,25	0,119	0,055

формулы Адамса. Норвежский математик К. Стёрмер получил формулу:

особенно удобную для решения уравнений вида у"" = f (x, у). По этой формуле находят D²y_n-1, а затем y_n+1 = y_n +Dy_n+1 + D²y_n-1. Найдя y_n+1, вычисляют y’’_n+1 = f (x_n+1, y_n+1), находят разности и повторяют процесс далее.
Указанные выше численные методы распространяются и на системы дифференциальных уравнений.
Значение численных методов решения дифференциальных уравнений особенно возросло с распространением ЭВМ.

Кроме аналитических и численных методов, для Приближённое решение дифференциальных уравнений применяются графические методы. В простейшем из них строят поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением, т. е. в некоторых точках рисуют направления касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Затем проводят кривую так, чтобы касательные к ней имели направления поля (см. Графические вычисления).

Лит.: Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, 2 изд., т. 2, М.. 1962; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973: Коллатц Л., Численные методы решения дифференциальных уравнений, пер. с нем., М., 1953; Милн В. Э., Численное решение дифференциальных уравнений, пер, с англ., М., 1955.