Пуассоновский процесс

Определение "Пуассоновский процесс" в Большой Советской Энциклопедии

Пуассоновский процесс, случайный процесс, описывающий моменты наступления 0 < t₁ <...< t_n <...<... каких-либо случайных событий, в котором число событий, происходящих в течение любого фиксированного интервала времени, имеет Пуассона распределение и независимы числа событий, происходящих в непересекающиеся промежутки времени.

Пусть m(s, t) — число событий, моменты наступления которых t_i удовлетворяют неравенствам 0 £ s < t_i £ t, и пусть l(s, t) — математическое ожидание m(s, t). Тогда и Пуассоновский процесс при любых 0 £ s₁ < t₁ £ s₂ < t₂ £... £ s_r < t_r случайные величины m(s₁, t₁), m(s₂, t₂),... m(s_r, t_r) независимы и вероятность того, что m(s, t) = n, равна
e^{-l (s, t)} [l(s, t)] ⁿ /n!.

  В однородном Пуассоновский процесс l(s, t) = a (t — s), где а — среднее число событий в единицу времени, расстояния t_n — t_n-1 между соседними моментами t_n независимы и имеют показательное распределение с плотностью ae^-at, t ³ 0.

Если имеется много независимых процессов, описывающих моменты возникновения некоторых случайных редких событий, то суммарный процесс при определённых условиях в пределе даёт Пуассоновский процесс

Пуассоновский процесс представляет собой удобную математическую модель, которая часто используется в различных приложениях теории вероятностей. В частности, с помощью Пуассоновский процесс описывается поток требований (например, вызовов, поступающих на телефонную станцию, выездов медицинских машин скорой помощи при транспортных происшествиях в большом городе) в массового обслуживания теории.

  Обобщением Пуассоновский процесс является пуассоновское случайное распределение точек на плоскости или в пространстве, при котором число точек в любой фиксированной области имеет распределение Пуассона (со средним, пропорциональным площади или объёму области) и числа точек в непересекающихся областях независимы. Это распределение часто используется при расчётах в астрономии, физике, экологии, технике и т.д.
Лит.: Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1—2, М., 1967.
  Б. А. Севастьянов.