Теорема

Определение "Теорема" в Большой Советской Энциклопедии

Теорема (греч. theorema, от theoréo — рассматриваю, исследую), предложение некоторой дедуктивной теории (см. Дедукция), устанавливаемое при помощи доказательства. Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая механика, некоторые разделы физики) состоит из Теорема, доказываемых одна за другой на основании ранее уже доказанных Теорема; самые же первые предложения принимаются без доказательства и являются, таким образом, логической основой данной области дедуктивной теории; эти первые предложения называют аксиомами.

  В формулировке Теорема различают условие и заключение. Например, 1) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3, или 2) если в треугольнике один из углов прямой, то оба других — острые; в каждом из этих примеров после слова «если» стоит условие Теорема, а после слова «то» — заключение. В такой форме можно высказать каждую Теорема Например, Теорема: «всякий вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой», можно высказать так: «если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой».

Для каждой Теорема, высказанной в форме «если... то...». можно высказать ей обратную теорему, в которой условие является заключением, а заключение — условием. Прямая и обратная Теорема взаимно обратны. Не всякая обратная Теорема оказывается верной; так, для примера 1) обратная Теорема верна, а для примера 2) — очевидно неверна. Справедливость обеих взаимно обратных Теорема означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия).

  Если заменить условие и заключение Теорема их отрицаниями, то получится Теорема, называемая противоположной данной (см. Противоположная теорема), она равносильна обратной Теорема Точно так же и Теорема, обратная противоположной, равносильна исходной Теорема (прямой). Поэтому доказательство прямой Теорема можно заменить доказательством того, что из отрицания заключения данной Теорема вытекает отрицание её условия. Этот метод, называемый доказательством от противного, или приведением к абсурду, является одним из наиболее употребительных приёмов математических доказательств.