Эйлера уравнения

Определение "Эйлера уравнения" в Большой Советской Энциклопедии

Эйлера уравнения,
1) в механике - динамические и кинематические уравнения, используемые при изучении движения твёрдого тела; даны Л. Эйлером в 1765.
Динамические Эйлера уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения твёрдого тела вокруг неподвижной точки и имеют вид

I_x + (I_z - I_y) w_yw_z = M_x,

I_y + (I_x -  I_z) w_zw_x = M_y, (1)

I_z + (I_y - I_x) w_xw_y = M_z,

где I_x, I_y, I_z - моменты инерции тела относительно гл. осей инерции, проведённых из неподвижной точки, w_х, w_у, w_z - проекции мгновенной угловой скорости тела на эти оси, M_x, M_y, M_z - гл. моменты сил, действующих на тело, относительно тех же осей; , ,   - проекции углового ускорения.

Кинематические Эйлера уравнения дают выражения w_х, w_у, w_z через Эйлеровы углы j, y, q и имеют вид
w_x= sin q sinj + cosj,
w_у= sin q cosj - sinj, (2)
w_z=  + cos q.
Система уравнений (1) и (2) позволяет, зная закон движения тела, определить момент действующих на него сил, и, наоборот, зная действующие на тело силы, определить закон его движения.

2) В гидромеханике - дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости в переменных Эйлера. Если давление р, плотность r, проекции скоростей частиц жидкости u, u, w и проекции действующей объёмной силы X, У, Z рассматривать как функции координат x, у, z точек пространства и времени t (переменные Эйлера), то Эйлера уравнения в проекциях на прямоугольные декартовы оси координат будут:
,
,
.

Решение общей задачи гидромеханики в переменных Эйлера сводится к тому, чтобы, зная X, У, Z, а также начальные и граничные условия, определить u, u, w, р, r, как функции х, у, z и t. Для этого к Эйлера уравнения присоединяют уравнение неразрывности в переменных Эйлера
.
В случае баротропной жидкости, у которой плотность зависит только от давления, 5-м уравнением будет уравнение состояния r = j (р) (или r - const, когда жидкость несжимаема).
Эйлера уравнения пользуются при решении разнообразных задач гидромеханики.
Лит.: Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 2, 9 изд., М., 1972, §14, 16; Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 4 изд., М., 1973.
  С. М. Тарг.