БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Диофантовы приближения

Значение слова "Диофантовы приближения" в Большой Советской Энциклопедии


Диофантовы приближения, часть теории чисел, изучающая приближения действительных чисел рациональными числами, или, при более широком понимании предмета, вопросы, связанные с решением
в целых числах линейных и нелинейных неравенств или систем неравенств с действительными коэффициентами. Диофантовы приближения названы по имени древнегреческого математика Диофанта, который занимался задачей решения алгебраических уравнений в целых числах — так называемых диофантовых уравнений. Методы теории Диофантовы приближения основаны на применении непрерывных дробей, Фарея рядов и Дирихле принципа.

  Задача о приближении одного числа рациональными дробями решается с помощью всех этих трёх методов и особенно с применением непрерывных дробей. Приближение действительного числа a подходящими дробями pklqk разложения a в непрерывную дробь характеризуется неравенством |a — pk/qk| < 1/qk2; с другой стороны, если несократимая дробь a/b удовлетворяет неравенству |a — а/b | < 1/2b2, то она является подходящей дробью разложения a в непрерывную дробь. Глубокие исследования о приближении действительных чисел a рациональными дробями принадлежат А. А. Маркову (старшему). Существует много расширений задачи о приближении числа рациональными дробями; к ним прежде всего относится задача об изучении выражений xq — у — a, где q и a — некоторые действительные числа, а х и у принимают целые значения (так называемая неоднородная одномерная задача). Первые результаты в решении этой задачи принадлежат П. Л. Чебышеву. Среди разнообразных теорем о приближённом решении в целых числах систем линейных уравнений (многомерные задачи Диофантовы приближения) особенно известна теорема, принадлежащая Л. Кронекеру: если a1,..., an — действительные числа, для которых равенство a1a1 +...+anan = 0 с целыми a1,..., an возможно лишь при a1 =... = an = 0, a b1,..., bn — некоторые действительные числа, то при любом заданном e > 0 можно найти число t и такие целые числа х1,..., xn, что выполняются неравенства |tak - bk - xk| < e, k = 1,2,..., n. Для решения многомерных задач Диофантовы приближения весьма плодотворным является принцип Дирихле. Методы, основанные на принципе Дирихле, позволили А. Я. Хинчину и др. учёным построить систематическую теорию многомерных Диофантовы приближения Для теории Диофантовы приближения важное значение имеет связь с геометрией, основанная на том, что систему линейных форм с действительными коэффициентами можно изобразить как решётку в n-мepном арифметическом пространстве. В конце 19 в. Г. Минковский доказал ряд геометрических теорем, имеющих приложения в теории Диофантовы приближения

  В вопросах нелинейных Диофантовы приближения замечательные результаты получил И. М. Виноградов. Созданные им методы занимают центральное место в этой области теории чисел. Одной из важнейших задач теории Диофантовы приближения является проблема приближения алгебраических чисел рациональными.

  К Диофантовы приближения относится теория трансцендентных чисел, в которой находят оценки для модулей линейных форм и многочленов от одного и нескольких чисел с целыми коэффициентами. Теория Диофантовы приближения тесно связана с решением диофантовых уравнений и с различными задачами аналитической теории чисел.

 

  Лит.: Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; Гельфонд А. О., Приближение алгебраических чисел алгебраическими же числами и теория трансцендентных чисел, «Успехи математических наук», 1949, т. 4, в. 4; Фельдман Н. И., Шидловский А. Б., Развитие и современное состояние теории трансцендентных чисел, там же, 1967, т. 22, в. 3; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 3 изд., М., 1961; Koksma J. F., Diophantische Approximationen, B., 1936.

 

В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Диофантовы приближения"

Буква "Д" | В начало | Буквосочетание "ДИ" |


Статья про слово "Диофантовы приближения" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 2211 раз


Интересное