БНБ "БСЭ" (95279) - Photogallery - Естественные науки - Математика - Технология
|
Диофантовы уравненияОпределение "Диофантовы уравнения" в Большой Советской ЭнциклопедииДиофантовы уравнения (по имени древнегреческого математика Диофанта), алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых разыскиваются целые или рациональные решения. Понятие Диофантовы уравнения в современной математике расширено: это уравнения, у которых разыскиваются решения в алгебраических числах. Диофантовы уравнения называются также неопределёнными. Простейшее Диофантовы уравнения ax + by = 1, где а и b — целые взаимно простые числа, имеет бесконечно много решений: если x0 и у0 — одно решение, то числа х = x0 + bn, у = y0-an (n — любое целое число) тоже будут решениями. Так, все целые решения уравнения 2x + 3у = 1 получаются по формулам х = 2 + 3n, у = - 1 — 2n (здесь x0 = 2, у0 = - 1). Другим примером Диофантовы уравнения является x2 + у2 = z2. Целые положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам х = m2 - n2, у = 2mn, z = m2 + n2, где m и n — целые числа (m> n > 0).
Диофант в сочинении «Арифметика» занимался разысканием рациональных (не обязательно целых) решений специальных видов Диофантовы уравнения Общая теория решения Диофантовы уравнения первой степени была создана в 17 в. французским математиком К. Г. Баше; к началу 19 в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано Диофантовы уравнения вида
где а, b, с, d, е, f — целые числа, т. е. общее неоднородное уравнение второй степени с двумя неизвестными. Ферма утверждал, например, что Диофантовы уравнения x2 — dy2 = 1 (Пелля уравнение), где d — целое положительное число, не являющееся квадратом, имеет бесконечно много решений. Валлис и Эйлер дали способы решения этого уравнения, а Лагранж доказал бесконечность числа решений. С помощью непрерывных дробей Лагранж исследовал общее неоднородное Диофантовы уравнения второй степени с двумя неизвестными. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся основой решения некоторых типов Диофантовы уравнения В исследованиях Диофантовы уравнения степени выше второй с двумя неизвестными были достигнуты серьёзные успехи лишь в 20 в. А. Туз установил, что Диофантовы уравнения
(где n ³ 3, a0, а1,..., an, с — целые и многочлен a0tn + a1, tn-1 +...+ an неприводим в поле рациональных чисел) не может иметь бесконечного числа целых решений. Английским математиком А. Бейкером получены эффективные теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более узкий класс Диофантовы уравнения, но позволяющий определять границы числа решений. В частности, его методом полностью решается Диофантовы уравнения вида Существует много направлений теории Диофантовы уравнения Так, известной задачей теории Диофантовы уравнения является Ферма великая теорема. Советским математикам (Б. Н. Делоне, А. О. Гельфонду, Д. К. Фаддееву и др.) принадлежат фундаментальные работы по теории Диофантовы уравнения Лит.: Гельфонд А. О., Решение уравнений в целых числах, 2 изд., М., 1956; Dickson L. Е., History of the theory of numbers, v. 2, Wash., 1920; Skolem Th., Diophantische Gleichungen, B., 1938.
Статья про "Диофантовы уравнения" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 633 раз |
TOP 20
|
|||||||