БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Комплексные числа

Значение слова "Комплексные числа" в Большой Советской Энциклопедии


Комплексные числа, числа вида х + iy, где х и у — действительные числа, а i — так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен —1); х называют действительной
Рис. к ст. Комплексные числа.
частью, а у — мнимой частью Комплексные числа z = х +iy (обозначают х =Rez, у=Imz). Действительные числа частный случай Комплексные числа (при у = 0); Комплексные числа, не являющиеся действительными (у ¹ 0), называют мнимыми числами; при х = 0 Комплексные числа Называют чисто мнимым. Комплексные числа z = х+iy и z = хiy называют комплексно-сопряжёнными. Арифметические действия над Комплексные числа производятся по обычным правилам действий над многочленами с учётом условия i2=1. Геометрически каждое Комплексные числа х + iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у (см. рис.). Если полярные координаты этой точки обозначить через r и j:, то соответствующее Комплексные числа можно представить в виде:

  r (cos j + i sin j)

  (тригонометрическая, или полярная, форма Комплексные числа);

   называют модулем Комплексные числа х+iy, а j = arg z — аргументом его. Тригонометрическая форма Комплексные числа особенно удобна для действий возведения в степень и извлечения корня:

  [r (cos j + i sin j)] n = rn (cos nj + i sin nj),

  , в частности

  , k = 0, 1, …, n—1

  По своим алгебраическим свойствам совокупность Комплексные числа образует поле. Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое уравнение xn + a1xn-1+...+an =0; где a1,..., an Комплексные числа, имеет (при учёте кратности) среди Комплексные числа точно n корней.

  Уже в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел; в этом случае задача считалась неразрешимой. Когда же в 1-й половине 16 в. были найдены формулы для решения кубических уравнений, оказалось, что в так называемом неприводимом случае действительные корни уравнений с действительными коэффициентами получаются в результате действий над Комплексные числа Это содействовало признанию Комплексные числа Первое обоснование простейших действий с Комплексные числа встречается у Р. Бомбелли в 1572. Однако долгое время к Комплексные числа относились, как к чему-то сверхъестественному. Так, Г. Лейбниц в 1702 писал: «Мнимые числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». В 1748 Л. Эйлер нашёл замечательную формулу eij = cosj + isinj, явившуюся первым важным результатом теории функций комплексного переменного, но истинный характер Комплексные числа выяснился лишь к концу 18 в., когда была открыта их геометрическая интерпретация (см. выше). Термин «Комплексные числа» предложен К. Гауссом в 1831. Введение Комплексные числа делает многие математические рассмотрения более единообразными и ясными и является важным этапом в развитии понятия о числе (см. Число). Комплексные числа Употребляются теперь при математическом описании многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т.д.). Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании Комплексные числа, чем обусловливается центральное место, занимаемое теорией функций комплексного переменного. См. Аналитические функции.

 

  Лит.: Маркушевич А. И., Комплексные числа и конформные отображения, 2 изд., М., 1960; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.

Рис. к ст. Комплексные числа.
Рис. к ст. Комплексные числа.


В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Комплексные числа"

Комплексные удобрения | Буква "К" | В начало | Буквосочетание "КО" | Комплексный растительный покров


Статья про слово "Комплексные числа" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 7241 раз


Интересное