Число (матем.)

Определение "Число (матем.)" в Большой Советской Энциклопедии

Число, важнейшее математическое понятие. Возникнув в простейшем виде ещё в первобытном обществе, понятие Число (матем.) изменялось на протяжении веков, постепенно обогащаясь содержанием по мере расширения сферы человеческой деятельности и связанного с ним расширения круга вопросов, требовавшего количеств. описания и исследования. На первых ступенях развития понятие Число (матем.) определялось потребностями счёта и измерения, возникавшими в непосредственной практической деятельности человека. Затем Число (матем.) становится основным понятием математики, и дальнейшее развитие понятия Число (матем.) определяется потребностями этой науки.

Понятие натурального числа, вызванное потребностью счёта предметов, возникло ещё в доисторические времена. Процесс формирования понятия натурального Число (матем.) протекал в общих чертах следующим образом. На низшей ступени первобытного общества понятие отвлечённого Число (матем.) отсутствовало. Это не значит, что первобытный человек не мог отдавать себе отчёта о количестве предметов конкретно данной совокупности, например о количестве людей, участвующих в охоте, о количестве озёр, в которых можно ловить рыбу, и т.д. Но в сознании первобытного человека ещё не сформировалось то общее, что есть в объектах такого рода, как, например, «три человека», «три озера» и т.д. Анализ языков первобытных народностей показывает, что для счёта предметов различного рода употреблялись различные словесные обороты. Слово «три» в контекстах «три человека», «три лодки» передавалось различно. Конечно, такие именованные числовые ряды были очень короткими и завершались неиндивидуализированным понятием («много») о большом количестве тех или других предметов, которое тоже являлось именованным, т. е. выражалось разными словами для предметов разного рода, такими, как «толпа», «стадо», «куча» и т.д.

Источником возникновения понятия отвлечённого Число (матем.) является примитивный счёт предметов, заключающийся в сопоставлении предметов данной конкретной совокупности с предметами некоторой определённой совокупности, играющей как бы роль эталона. У большинства народов первым таким эталоном являются пальцы («счёт на пальцах»), что с несомненностью подтверждается языковедческим анализом названий первых чисел. На этой ступени Число (матем.) становится отвлечённым, не зависящим от качества считаемых объектов, но вместе с тем выступающим во вполне конкретном осуществлении, связанном с природой эталонной совокупности. Расширяющиеся потребности счёта заставили людей употреблять другие счётные эталоны, такие, как, например, зарубки на палочке. Для фиксации сравнительно больших Число (матем.) стала использоваться новая идея — обозначение некоторого определённого Число (матем.) (у большинства народов — десяти) новым знаком, например зарубкой на другой палочке.

С развитием письменности возможности воспроизведения Число (матем.) значительно расширились. Сначала Число (матем.) стали обозначаться чёрточками на материале, служащем для записи (папирус, глиняные таблички и т.д.). Затем были введены другие знаки для больших Число (матем.) Вавилонские клинописные обозначения Число (матем.), так же, как и сохранившиеся до наших дней «римские цифры», ясно свидетельствуют именно об этом пути формирования обозначений для Число (матем.) Шагом вперёд была индийская позиционная система счисления, позволяющая записать любое натуральное Число (матем.) при помощи десяти знаков — цифр. Т. о., параллельно с развитием письменности понятие натурального Число (матем.) принимает всё более отвлечённую форму, всё более закрепляется отвлечённое от всякой конкретности понятие Число (матем.), воспроизводимого в форме слов в устной речи и в форме обозначения специальными знаками в письменной.

Важным шагом в развитии понятия натурального Число (матем.) является осознание бесконечности натурального ряда Число (матем.), т. е. потенциальной возможности его безграничного продолжения. Отчётливое представление о бесконечности натурального ряда отражено в памятниках античной математики (3 в. до н. э.), в трудах Евклида и Архимеда. В «Началах» Евклида устанавливается даже безграничная продолжаемость ряда простых Число (матем.), в книге Архимеда «Псаммит» — принципы для построения названий и обозначений для сколь угодно больших Число (матем.), в частности больших, чем «число песчинок в мире».

С развитием понятия натурального Число (матем.) как результата счёта предметов в обиход включаются действия над Число (матем.) Действия сложения и вычитания возникают сначала как действия над самими совокупностями в форме объединения двух совокупностей в одну и отделения части совокупности. Умножение, по-видимому, возникло в результате счёта равными частями (по два, по три и т.д.), деление — как деление совокупности на равные части (см. Умножение, Деление). Лишь в многовековом опыте сложилось представление об отвлечённом характере этих действий, о независимости количественного результата действия от природы предметов, составляющих совокупности, о том, что, например, два предмета и три предмета составят пять предметов независимо от природы этих предметов. Тогда стали разрабатывать правила действий, изучать их свойства, создавать методы для решения задач, т. е. начинается развитие науки о Число (матем.) — арифметики. В первую очередь арифметика развивается как система знаний, имеющая непосредственно прикладную направленность. Но в самом процессе развития арифметики проявляется потребность в изучении свойств Число (матем.) как таковых, в уяснении всё более сложных закономерностей в их взаимосвязях, обусловленных наличием действий. Начинается детализация понятия натурального Число (матем.), выделяются классы чётных и нечётных Число (матем.), простых и составных и т.д. Изучение глубоких закономерностей в натуральном ряду Число (матем.) продолжается и составляет раздел математики, носящий название чисел теория.

  Натуральные Число (матем.), кроме основной функции — характеристики количества предметов, несут ещё другую функцию — характеристику порядка предметов, расположенных в ряд. Возникающее в связи с этой функцией понятие порядкового Число (матем.) (первый, второй и т.д.) тесно переплетается с понятием количественного Число (матем.) (один, два и т.д.). В частности, расположение в ряд считаемых предметов и последующий их пересчёт с применением порядковых Число (матем.) является наиболее употребительным с незапамятных времён способом счёта предметов (так, если последний из пересчитываемых предметов окажется седьмым, то это и означает, что имеется семь предметов).

Вопрос об обосновании понятия натурального Число (матем.) долгое время в науке не ставился. Понятие натурального Число (матем.) столь привычно и просто, что не возникало потребности в его определении в терминах каких-либо более простых понятий. Лишь в середине 19 в. под влиянием развития аксиоматического метода в математике, с одной стороны, и критического пересмотра основ математического анализа — с другой, назрела необходимость обоснования понятия количественного натурального Число (матем.) Отчётливое определение понятия натурального Число (матем.) на основе понятия множества (совокупности предметов) было дано в 70-х гг. 19 в. в работах Г. Кантора. Сначала он определяет понятие равномощности совокупностей. Именно, две совокупности называются равномощными, если составляющие их предметы могут быть сопоставлены по одному. Затем число предметов, составляющих данную совокупность, определяется как то общее, что имеет данная совокупность и всякая другая, равномощная ей совокупность предметов, независимо от всяких качественных особенностей этих предметов. Такое определение отражает сущность натурального Число (матем.) как результата счёта предметов, составляющих данную совокупность. Действительно, на всех исторических уровнях счёт заключается в сопоставлении по одному считаемых предметов и предметов, составляющих «эталонную» совокупность (на ранних ступенях — пальцы рук и зарубки на палочке и т.д., на современном этапе — слова и знаки, обозначающие Число (матем.)), Определение, данное Кантором, было отправным пунктом для обобщения понятия количеств. Число (матем.) в направлении количественной характеристики бесконечных множеств.

Другое обоснование понятия натурального Число (матем.) базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе система аксиом была сформулирована Дж. Пеано.

  Следует отметить, что перенесение понятия порядкового Число (матем.) на бесконечные совокупности [порядковые трансфинитные числа и более общо — порядковые типы (см. Множеств теория)] резко расходится с обобщённым понятием количественного Число (матем.); это обусловлено тем, что количественно одинаковые (равномощные) множества могут быть упорядочены различными способами.

Исторически первым расширением понятия Число (матем.) является присоединение к натуральным Число (матем.) дробных чисел. Введение в употребление дробных Число (матем.) связано с потребностью производить измерения. Измерение какой-либо величины заключается в сравнении её с другой, качественно однородной с ней и принятой за единицу измерения. Это сравнение осуществляется посредством специфической для способа измерения операции «откладывания» единицы измерения на измеряемой величине и счёта числа таких откладываний. Так измеряется длина посредством откладывания отрезка, принятого за единицу измерения, количество жидкости — при помощи мерного сосуда и т.д. Однако не всегда единица измерения укладывается на измеряемой величине целое число раз, и этим обстоятельством, даже в самой примитивной практической деятельности, не всегда можно пренебречь. Здесь и содержится источник происхождения наиболее простых и «удобных» дробей, таких, как половина, треть, четверть и т.д. Но лишь с развитием арифметики как науки о Число (матем.) созревает идея рассмотрения дробей с любым натуральным знаменателем и представление о дробном Число (матем.) как о частном при делении двух натуральных Число (матем.), из которых делимое не делится нацело на делитель (см. Дробь).
  Дальнейшие расширения понятия Число (матем.) обусловлены уже не непосредственными потребностями счёта и измерения, но явились следствием развития математики.

Введение отрицательных чисел было с необходимостью вызвано развитием алгебры как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от их конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательного Число (матем.) возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. Возможный отрицательный ответ в задачах такого рода может быть истолкован на примерах простейших направленных величин (таких, как противоположно направленные отрезки, передвижение в направлении, противоположном выбранному, имущество — долг, и т.д.). В задачах же, приводящихся к многократному применению действий сложения и вычитания, для решения без помощи отрицательного Число (матем.) необходимо рассмотрение очень многих случаев; это может быть настолько обременительным, что теряется преимущество алгебраического решения задачи перед арифметическим. Т. о., широкое использование алгебраических методов для решения задач весьма затруднительно без пользования отрицательного Число (матем.) В Индии ещё в 6—11 вв. отрицательные Число (матем.) систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.

В европейской науке отрицательные Число (матем.) окончательно вошли в употребление лишь со времени Р. Декарта, давшего геометрическое истолкование отрицательного Число (матем.) как направленных отрезков. Создание Декартом аналитической геометрии, позволившее рассматривать корни уравнения как координаты точек пересечения некоторой кривой с осью абсцисс, окончательно стёрло принципиальное различие между положительными и отрицательными корнями уравнения, их истолкование оказалось по существу одинаковым.

Число (матем.) целые, дробные (положительные и отрицательные) и нуль получили общее название рациональных чисел. Совокупность рациональных Число (матем.) обладает свойством замкнутости по отношению к четырём арифметическим действиям. Это значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении на нуль, которое не имеет смысла) любых двух рациональных Число (матем.) является снова рациональным Число (матем.) Совокупность рациональных Число (матем.) упорядочена в отношении понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных Число (матем.) обладает свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными Число (матем.) находится бесконечно много рациональных Число (матем.) Это даёт возможность при помощи рациональных Число (матем.) осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной единице масштаба) с любой степенью точности. Т. о., совокупность рациональных Число (матем.) оказывается достаточной для удовлетворения многих практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного Число (матем.) было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от обоснования натурального Число (матем.), принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных Число (матем.) оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение понятия Число (матем.), заключающееся в переходе от множества рациональных Число (матем.) к множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход состоит в присоединении к рациональным Число (матем.) т. н. иррациональных чисел. Ещё в Древней Греции было сделано в геометрии открытие огромной принципиальной важности: не всякие точно заданные (что само по себе является присущей геометрии идеализацией) отрезки соизмеримы, т. е. не всегда длина отрезка может быть выражена рациональным Число (матем.), если за единицу принят другой отрезок. Классическим примером несоизмеримых отрезков является сторона квадрата и его диагональ. Факт существования несоизмеримых отрезков не явился тормозом для развития геометрии. Греками была разработана (изложенная в «Началах» Евклида) теория отношений отрезков, учитывающая возможность их несоизмеримости. Они умели сравнивать такие отношения по величине, производить над ними арифметические действия (в чисто геометрической форме), т. е. греки обращались с такими отношениями, как с Число (матем.) Однако идея о том, что отношение длин несоизмеримых отрезков может рассматриваться как Число (матем.), у них не была осознана до конца. Это может быть объяснено культивировавшимся в школе, к которой принадлежал Евклид, идеалистическим отрывом теоретической математики от прикладных вопросов. В работах Архимеда мы находим значительно большую близость к прикладным вопросам, в частности приближённые вычисления отношений несоизмеримых отрезков, однако и у него не появляется понятие иррационального Число (матем.) как Число (матем.), выражающего отношение длин несоизмеримых отрезков.

В 17 в. в период зарождения современной науки и, в частности, современной математики разрабатывается ряд методов изучения непрерывных процессов и методов приближённых вычислений. Отчётливое определение понятия действительного Число (матем.) даётся одним из основоположников математического анализа И. Ньютоном во «Всеобщей арифметике»: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Эта формулировка даёт единое определение действительного Число (матем.), рационального или иррационального. В дальнейшем, в 70-х гг. 19 в., понятие действительного Число (матем.) было уточнено на основе глубокого анализа понятия непрерывности в работах Р. Дедекинда, Г. Кантора и К. Вейерштрасса.

  По Дедекинду, свойство непрерывности прямой линии заключается в том, что если все точки, составляющие прямую, разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса («разорвать» прямую на две части), то либо в первом классе найдётся самая правая точка, либо во втором — самая левая точка, т. е. точка, в которой произошёл «разрыв» прямой.

Совокупность всех рациональных Число (матем.) свойством непрерывности не обладает. Если совокупность всех рациональных Число (матем.) разбить на два класса так, что каждое Число (матем.) первого класса будет меньше каждого Число (матем.) второго класса, то при таком разбиении («сечении» Дедекинда) может оказаться, что в первом классе не будет существовать наибольшего Число (матем.), а во втором — наименьшего. Так будет, например, если к первому классу отнести все отрицательные рациональные Число (матем.), нуль и все положительные Число (матем.), квадрат которых меньше двух, а ко второму — все положительные Число (матем.), квадрат которых больше двух. Такое сечение называется иррациональным. Затем даётся следующее определение иррационального Число (матем.): каждому иррациональному сечению в совокупности рациональных Число (матем.) сопоставляется иррациональное Число (матем.), которое считается большим, чем любое Число (матем.) первого класса, и меньшим, чем любое Число (матем.) верхнего класса. Совокупность всех действительных Число (матем.), рациональных и иррациональных, уже обладает свойством непрерывности.

Обоснование Кантора понятия действительного Число (матем.) отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное Число (матем.) определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных Число (матем.), которая мыслится как данная вся целиком.

В последние годы разрабатывается концепция «вычислимых» Число (матем.), т. е. таких, приближения к которым могут быть заданы посредством какого-либо алгоритма. Понятие вычислимого Число (матем.) определяется без пользования абстракцией актуальной бесконечности, на базе уточнённого понятия алгоритма.

Заключительный этап в развитии понятия Число (матем.) — введение комплексных чисел. Источником возникновения понятия комплексного Число (матем.) явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного Число (матем.) возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного Число (матем.), невыполнимому в области действительного Число (матем.) Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось след. обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными Число (матем.), по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных Число (матем.) Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных Число (матем.) Однако комплексные Число (матем.) и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» Число (матем.) Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных Число (матем.) в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных Число (матем.) в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса. Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера, комплексные Число (матем.) начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.

Совокупность всех комплексных Число (матем.) обладает так же, как совокупность действительных Число (матем.) и совокупность рациональных Число (матем.), свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных Число (матем.) обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных Число (матем.) Совокупность всех действительных Число (матем.) (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Так, например, уравнение с действительными коэффициентами х²+1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных Число (матем.) не может быть далее расширена за счёт присоединения новых Число (матем.) так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных Число (матем.)

Наряду с основной линией развития понятия Число (матем.) (натуральные Число (матем.) ® рациональные Число (матем.) ® действительные Число (матем.) ® комплексные Число (матем.)), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия Число (матем.) в существенно других направлениях. Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных Число (матем.) В современной теории Число (матем.) получили большое значение т. н. р-адические Число (матем.), системы которых получаются из систем рациональных Число (матем.) посредством присоединения новых объектов, отличных от иррациональных Число (матем.) В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных Число (матем.) — группы, кольца, поля, алгебры (см. также ст. Гиперкомплексные числа).
 

  Лит.: История математики, т. 1—3, М., 1970—72; Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951; Нечаев В. И., Числовые системы, М., 1972.
  Д. К. Фаддеев.