Малые выборки

Определение "Малые выборки" в Большой Советской Энциклопедии

Малые выборки, статистические выборки столь малого объёма n, что к ним нельзя применить простые классические формулы, действующие лишь асимптотически при n ® ¥. Особенности статистической оценки параметров по Малые выборки легче всего понять на примере нормального распределения (для которого малыми обычно считают выборки объёма n £ 30). Пусть необходимо оценить неизвестное среднее значение a выборки x₁, x₂, ..., x_n из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией s². Обозначим
,
.
Исходным пунктом при оценке a служит то обстоятельство, что распределение вероятностей величины

не зависит от а и s.
Вероятность w неравенства - t_w < t < t_w и равносильного ему неравенства
    (1)
вычисляется при этом по формуле
w =  (2)

где s(t, n - 1) есть плотность вероятности для так называемого Стьюдента распределения с n - 1 степенями свободы. Определяя для заданных n и w (0 < w < 1) соответствующее t_w (что можно сделать, например, по таблицам), получают правило (1) нахождения доверительных границ для величины а, имеющей значимости уровень w.
При больших n формула (2), связывающая w и t_w, приближённо может быть заменена формулой
    (3)

Эту формулу иногда неправильно применяют для определения t_w при небольших n, что приводит к грубым ошибкам. Так, для w = 0,99 по формуле (3) находим t_0,99 = 2,58; истинные значения t_0,99 для малых n приведены в следующей таблице:

выполняется с вероятностью 0,99. В действительности в случае пяти наблюдений вероятность этого неравенства равна лишь 0,94, а вероятностью 0,99 обладает в соответствии с приведённой таблицей неравенство

Об оценке по Малые выборки теоретической дисперсии s² см. «Хи-квадрат» распределение. Разработаны также аналогичные методы оценки по Малые выборки параметров многомерных распределении (например, коэффициента корреляции).

Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, перевод с английского, М., 1948; Колмогоров А. Н., Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений, «Известия АН СССР. Серия математическая», 1942, т. 6, № 1-2; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.
  Ю. В. Прохоров.