БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Малые выборки

Значение слова "Малые выборки" в Большой Советской Энциклопедии


Малые выборки, статистические выборки столь малого объёма n, что к ним нельзя применить простые классические формулы, действующие лишь асимптотически при n ® ¥. Особенности статистической
оценки параметров по Малые выборки легче всего понять на примере нормального распределения (для которого малыми обычно считают выборки объёма n £ 30). Пусть необходимо оценить неизвестное среднее значение a выборки x1, x2, ..., xn из нормальной совокупности с неизвестной дисперсией s2. Обозначим

  ,

  .

  Исходным пунктом при оценке a служит то обстоятельство, что распределение вероятностей величины

 

  не зависит от а и s.

  Вероятность w неравенства - tw < t < tw и равносильного ему неравенства

      (1)

  вычисляется при этом по формуле

  w =  (2)

  где s(t, n - 1) есть плотность вероятности для так называемого Стьюдента распределения с n - 1 степенями свободы. Определяя для заданных n и w (0 < w < 1) соответствующее tw (что можно сделать, например, по таблицам), получают правило (1) нахождения доверительных границ для величины а, имеющей значимости уровень w.

  При больших n формула (2), связывающая w и tw, приближённо может быть заменена формулой

      (3)

  Эту формулу иногда неправильно применяют для определения tw при небольших n, что приводит к грубым ошибкам. Так, для w = 0,99 по формуле (3) находим t0,99 = 2,58; истинные значения t0,99 для малых n приведены в следующей таблице:

 

n<

2<

3<

4<

5<

10<

20<

30<


t0,99

63,66

9,92

5,84

4,60

3,25

2,86

2,76

 

Если пользоваться формулой (3) при n = 5, то получится вывод, что неравенство

 

выполняется с вероятностью 0,99. В действительности в случае пяти наблюдений вероятность этого неравенства равна лишь 0,94, а вероятностью 0,99 обладает в соответствии с приведённой таблицей неравенство

 

  Об оценке по Малые выборки теоретической дисперсии s2 см. «Хи-квадрат» распределение. Разработаны также аналогичные методы оценки по Малые выборки параметров многомерных распределении (например, коэффициента корреляции).

 

  Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, перевод с английского, М., 1948; Колмогоров А. Н., Определение центра рассеивания и меры точности по ограниченному числу наблюдений, «Известия АН СССР. Серия математическая», 1942, т. 6, № 1-2; Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, М., 1965.

  Ю. В. Прохоров.

В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Малые выборки"

Малые Антильские острова | Буква "М" | В начало | Буквосочетание "МА" | Малые выпи


Статья про слово "Малые выборки" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 6168 раз


Интересное