«Хи-квадрат» распределение

Определение "«Хи-квадрат» распределение" в Большой Советской Энциклопедии

«Хи-квадрат» распределение с f степенями свободы, распределение вероятностей суммы квадратов
c² = X₁²+...+X_f²,

независимых случайных величин X₁,..., X_f, подчиняющихся нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Функция «Х.-к.» р. выражается интегралом
,

Первые три момента (математическое ожидание дисперсия и третий центральный момент) суммы c² равны соответственно f, 2f, 8f. Сумма двух независимых случайных величин c₁² и c₂², с f₁ и f₂ степенями свободы подчиняется «Х.-к.» р. с f₁ + f₂ степенями свободы.

Примерами «Х.-к.» р. могут служить распределения квадратов случайных величин, подчиняющихся Рэлея распределению и Максвелла распределению. В терминах «Х.-к.» р. с чётным числом степеней свободы выражается Пуассона распределение:
.

Если количество слагаемых f суммы c² неограниченно увеличивается, то согласно центральной предельной теореме распределение нормированного отношения  сходится к стандартному нормальному распределению:
,
где

.
Следствием этого факта является другое предельное соотношение, удобное для вычисления F_f (x) при больших значениях f:

В математической статистике «Х.-к.» р. используется для построения интервальных оценок и статистических критериев. Если Y₁,..., Y_n — случайные величины, представляющие собой результаты независимых измерений неизвестной постоянной а, причём ошибки измерений Y_i — а независимы, распределены одинаково нормально и

Е (Y_i — a) = 0, Е (Y_i — а)² = s²,
то статистическая оценка неизвестной дисперсии s² выражается формулой
,
где
, .

Отношение S²/s² подчиняется «Х.-к.» р. с f = n — 1 степенями свободы. Пусть x₁ и x₂ — положительные числа, являющиеся решениями уравнений F_f (x₁) = a/2 и F_f (x₂) = 1 — a/2 [a — заданное число из интервала (0, ¹/₂)]. В таком случае

Р {х₁ < S²/s² < x₂) = Р {S²/x₂ < s² < S²/x₁} = 1—a.

Интервал (S²/x₁, S²/x₂) называют доверительным интервалом для s², соответствующим коэффициенту доверия 1 — a. Такой способ построения интервальной оценки для s² часто применяется с целью проверки гипотезы, согласно которой s² = s₀²(s₀² — заданное число): если s₀² принадлежит указанному доверительному интервалу, то делается заключение, что результаты измерений не противоречат гипотезе s² = s₀². Если же

s₀² £ S²/x² или s₀² ³ S²/x₁,

то нужно считать, что s² > s₀² или s² < s₀² соответственно. Такому критерию отвечает значимости уровень, равный a.
Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975.
  Л. Н. Большев.