Нормальное распределение

Определение "Нормальное распределение" в Большой Советской Энциклопедии

Кривые плотности нормального распределения

Нормальное распределение, одно из важнейших распределений вероятностей. Термин «Нормальное распределение» применяют как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин (т. е. к распредслениям случайных векторов).
Распределение вероятностей случайной величины Х называется нормальным, если оно имеет плотность вероятности
. (*)

Семейство Нормальное распределение (*) зависит, т. о., от двух параметров а и s. При этом математическое ожидание Х равно а, дисперсия Х равна s². Кривая Нормальное распределение у = р (х; а, s) симметрична относительно ординаты, проходящей через точку х = а, и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением s кривая Нормальное распределение становится всё более и более островершинной (см. рис.). Изменение а при постоянном s не меняет форму кривой, а вызывает лишь её смещение по оси абсцисс. Площадь, заключённая под кривой Нормальное распределение, всегда равна единице. При a = 0, s = 1 соответствуюшая функция распределения равна
.

В общем случае функция распределения Нормальное распределение (*) F (х; а, s) может быть вычислена по формуле F (x; а, s) = Ф (t), где t = (х — а)/s. Для функции Ф (t) (и нескольких её производных) составлены обширные таблицы. Для Нормальное распределение вероятность неравенства , равная 1— Ф (k)+ Ф (— k), убывает весьма быстро с ростом k (см. таблицу).

k	Вероятность<
1	0,31731
2	0,04550
3	0,00269
4	0,00006

  Во многих практических вопросах при рассмотрении Нормальное распределение пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих 3s, — т. н. правило трёх сигма (соответствующая вероятность, как видно из таблицы, меньше 0,003). Вероятное отклонение для Нормальное распределение равно 0,67449s.

Нормальное распределение встречается в большом числе приложений. Издавна известны попытки объяснения этого обстоятельства. Теоретическое обоснование исключительной роли Нормальное распределение дают предельные теоремы теории вероятностей (см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий результат может быть объяснён следующим образом: Нормальное распределение служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой.

Нормальное распределение может появляться также как точное решение некоторых задач (в рамках принятой математической модели явления). Так обстоит дело в теории случайных процессов (в одной из основных моделей броуновского движения). Классические примеры возникновения Нормальное распределение как точного принадлежат К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу (закон распределения скоростей молекул).

Совместное распределение нескольких случайных величин X₁, X₂,..., X_s называется нормальным (многомерным нормальным), если соответствующая плотность вероятности имеет вид:
, где ,

q_{k, l} = q_{l, k} — положительно определенная квадратичная форма. Постоянная С определяется из того условия, что интеграл от р по всему пространству равен 1. Параметры a₁,..., a_s равны математическим ожиданиям X₁,..., X_s соответственно, а коэффициент q_{k, l} могут быть выражены через дисперсии s₁²,..., s_s² этих величин и коэффициент корреляции s_{k, l} между X_k и X_l. Общее количество параметров, задающих Нормальное распределение, равно
(s + 1)(s + 2)/2 - 1

и быстро растет с ростом s (оно равно 2 при s = 1, 20 при s = 5 и 65 при s = 10). Многомерное Нормальное распределение служит основной моделью статистического анализа многомерного. Оно используется также в теории случайных процессов (где рассматривают также Нормальное распределение в бесконечномерных пространствах).

О вопросах, связанных с оценкой параметров Нормальное распределение по результатам наблюдений, см. статьи Малые выборки и Несмещенная оценка. О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы (в математической статистике).
Лит. см. при ст. Распределения.
  Ю. В. Прохоров.

I. а = 0, s = 2,5; II. a = 0, s = 1; III. a = 0, s = 0,4; IV. a = 3, s = 1." href="/a_pictures/12/18/291029376.jpg">I. а = 0, s = 2,5; II. a = 0, s = 1; III. a = 0, s = 0,4; IV. a = 3, s = 1." src="a_pictures/12/18/th_291029376.jpg">
Кривые плотности нормального распределения для различных значений параметров а и s: I. а = 0, s = 2,5; II. a = 0, s = 1; III. a = 0, s = 0,4; IV. a = 3, s = 1.