Многочлен

Определение "Многочлен" в Большой Советской Энциклопедии

Многочлен, полином, выражение вида
Ax^ky^l…..w^m + Bxⁿy^p…..w^q + …… + Dx^rt^s…..w^t,

где х, у, ..., w — переменные, а А, В, ..., D (коэффициенты Многочлен) и k, l, ..., t (показатели степеней — целые неотрицательные числа) — постоянные. Отдельные слагаемые вида Ах^ky^l…..w^m называются членами Многочлен Порядок членов, а также порядок множителей в каждом члене можно менять произвольно; точно так же можно вводить или опускать члены с нулевыми коэффициентами, а в каждом отдельном члене — степени с нулевыми показателями. В случае, когда Многочлен имеет один, два или три члена, его называют одночленом, двучленом или трёхчленом. Два члена Многочлен называются подобными, если в них показатели степеней при одинаковых переменных попарно равны. Подобные между собой члены
А"х^ky^l…..w^m, B"x^ky^l…..w^m, ….., D"x^ky^l…..w^m

можно заменить одним (приведение подобных членов). Два Многочлен называются равными, если после приведения подобных все члены с отличными от нуля коэффициентами оказываются попарно одинаковыми (но, может быть, записанными в разном порядке), а также если все коэффициенты этих Многочлен оказываются равными нулю. В последнем случае Многочлен называется тождественным нулём и обозначают знаком 0. Многочлен от одного переменного х можно всегда записать в виде

P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n-1x + a_n,
где a₀, a₁,..., a_n — коэффициенты.

Сумму показателей степеней какого-либо члена Многочлен называют степенью этого члена. Если Многочлен не тождественный нуль, то среди членов с отличными от нуля коэффициентами (предполагается, что все подобные члены приведены) имеются один или несколько наибольшей степени; эту наибольшую степень называют степенью Многочлен Тождественный нуль не имеет степени. Многочлен нулевой степени сводится к одному члену А (постоянному, не равному нулю). Примеры: xyz + х + у + z есть многочлен третьей степени, 2x + у — z + 1 есть многочлен первой степени (линейный Многочлен), 5x² — 2x² — 3х² не имеет степени, т. к. это тождественный нуль. Многочлен, все члены которого одинаковой степени, называется однородным Многочлен, или формой; формы первой, второй и третьей степеней называются линейными, квадратичными, кубичными, а по числу переменных (два, три) двоичными (бинарными), тройничными (тернарными) (например, x² + y² + z² — ху — yz — xz есть тройничная квадратичная форма).

Относительно коэффициентов Многочлен предполагается, что они принадлежат определённому полю (см. Поле алгебраическое), например полю рациональных, действительных или комплексных чисел. Выполняя над Многочлен действия сложения, вычитания и умножения на основании переместительного, сочетательного и распределительного законов, получают снова Многочлен Таким образом, совокупность всех Многочлен с коэффициентами из данного поля образует кольцо (см. Кольцо алгебраическое) — кольцо многочленов над данным полем; это кольцо не имеет делителей нуля, т. е. произведение Многочлен, не равных 0, не может дать 0.

Если для двух многочленов Р(х) и Q(x) можно найти такой многочлен R(x), что Р = QR, то говорят, что Р делится на Q; Q называется делителем, a R — частным. Если Р не делится на Q, то можно найти такие многочлены Р(х) и S(x), что Р = QR + S, причём степень S(x) меньше степени Q(x).

Посредством повторного применения этой операции можно находить наибольший общий делитель Р и Q, т. е. такой делитель Р и Q, который делится на любой общий делитель этих многочленов (см. Евклида алгоритм). Многочлен, который можно представить в виде произведения Многочлен низших степеней с коэффициентами из данного поля, называется приводимым (в данном поле), в противном случае — неприводимым. Неприводимые Многочлен играют в кольце Многочлен роль, сходную с простыми числами в теории целых чисел. Так, например, верна теорема: если произведение PQ делится на неприводимый многочлен R, a P на R не делится, то тогда Q должно делиться на R. Каждый Многочлен степени, большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени). Например, многочлен x⁴ + 1, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на два множителя

в поле действительных чисел и на четыре множителя  в поле комплексных чисел. Вообще каждый Многочлен от одного переменного х разлагается в поле действительных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры). Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать; например, многочлен x³ + yz² + z³ неприводим в любом числовом поле.

Если переменным х, у, ..., w придать определённые числовые значения (например, действительные или комплексные), то Многочлен также получит определённое числовое значение. Отсюда следует, что каждый Многочлен можно рассматривать как функцию соответствующих переменных. Эта функция непрерывна и дифференцируема при любых значениях переменных; её можно характеризовать как целую рациональную функцию, т. е. функцию, получающуюся из переменных и некоторых постоянных (коэффициентов) посредством выполненных в определённом порядке действий сложения, вычитания и умножения. Целые рациональные функции входят в более широкий класс рациональных функций, где к перечисленным действиям присоединяется деление: любую рациональную функцию можно представить в виде частного двух Многочлен Наконец, рациональные функции содержатся в классе алгебраических функций.

  К числу важнейших свойств Многочлен относится то, что любую непрерывную функцию можно с произвольно малой ошибкой заменить Многочлен (теорема Вейерштрасса; точная её формулировка требует, чтобы данная функция была непрерывна на каком-либо ограниченном, замкнутом множестве точек, например на отрезке числовой оси). Этот факт, доказываемый средствами математического анализа, даёт возможность приближённо выражать Многочлен любую связь между величинами, изучаемую в каком-либо вопросе естествознания и техники. Способы такого выражения исследуются в специальных разделах математики (см. Приближение и интерполирование функций, Наименьших квадратов метод).
  В элементарной алгебре многочленом иногда называются такие алгебраические выражения, в которых последним действием является сложение или вычитание, например

Лит. : Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., Многочлен, 1968; Мишина А. П., Проскуряков И. В., Высшая алгебра, 2 изд., Многочлен, 1965.
  А. И. Маркушевич.