Форма (матем.)

Определение "Форма (матем.)" в Большой Советской Энциклопедии

Форма (математическая), многочлен от нескольких переменных, все члены которого имеют одну и ту же степень (под степенью одночлена х^aу^b... z^g понимают число a + b +... + g). Теория Форма (матем.) находит применение в алгебраической геометрии, теории чисел, дифференциальной геометрии, механике и др. областях математики и её приложений.

В зависимости от числа m переменных Форма (матем.) называют бинарными (при m = 2), тернарными (при m = 3) и т.д., в зависимости от степени n их членов – линейными (при n = 1), квадратичными (при n = 2), кубичными (при n = 3) и т.д. Например, ху + 2y² + z² является тернарной квадратичной Форма (матем.) Если переменные можно разбить на группы так, чтобы каждый член Форма (матем.) линейно зависел от переменных каждой группы, то Форма (матем.) называется полилинейной. Примером полилинейной Форма (матем.) является определитель, рассматриваемый как функция своих элементов (группы, на которые разбиваются в этом случае элементы, представляют собой совокупности элементов, расположенные в одинаковых строках или столбцах). Любая Форма (матем.) может быть получена из полилинейной Форма (матем.) путём отождествления некоторых переменных. Обратно – из каждой Форма (матем.) можно путём некоторого процесса, называемого процессом поляризации, получить полилинейную Форма (матем.) Например, Форма (матем.) x² + 2x₁, x₂ + x² соответствует полилинейная Форма (матем.): x₁y₁ + x₁y₂ + y₁x₂ + x₂y₂, которая в результате отождествления y₁ с x₁ и y₂ c x₂ превращается в данную Форма (матем.): x₁² + 2x₁x₂ + x₂².

Уравнение любой алгебраической кривой на плоскости может быть записано в однородных координатах в виде f (x₁, x₂, x₃) = 0, где f – некоторая тернарная Форма (матем.) Аналогично можно дать геометрическое истолкование Форма (матем.) большего числа переменных. Геометрические свойства кривых поверхностей и т.д., не зависящие от выбора системы координат, выражаются при помощи инвариантов Форма (матем.) Теория инвариантов является одним из основных разделов алгебраической теории Форма (матем.), находящим применение не только в алгебраической геометрии, но и в ряде др. разделов математики и её приложений.

Наиболее важными для приложений являются квадратичные формы. Например, квадрат длины вектора выражается в виде квадратичной Форма (матем.) от его координат. Если механическая система при движении остаётся близкой к положению равновесия, то её кинетическая и потенциальная энергия (если они не зависят явно от времени) выражаются, соответственно, квадратичными Форма (матем.) вида:
 и .

Изучение колебаний таких систем основано на теории квадратичных Форма (матем.), в частности на приведении этих Форма (матем.) к сумме квадратов. Теория квадратичных Форма (матем.) тесно связана с теорией кривых и поверхностей второго порядка (см. также Эрмитова форма).

  В теории чисел весьма важным является вопрос о представимости целых чисел как значений Форма (матем.) с целочисленными коэффициентами при целочисленных значениях переменных. Например, любое натуральное число представимо в виде x² + y² + z² + t² (теорема Лагранжа). Изучение вопроса о представимости целых чисел в виде ax² + 2bxy + су²; где а, b, с, х и у – целые числа, было проведено Ж. Лагранжем и К. Гауссом. Этот вопрос тесно связан с теорией алгебраических чисел. А. Туэ доказал, что уравнения вида f (х, у) = m, где степень формы f больше двух, имеют конечное число целочисленных решений (см. Диофантовы уравнения).

  В дифференциальной геометрии и римановой геометрии используются дифференциальные Форма (матем.), т. е. многочлены от дифференциалов переменных, каждый член которых имеет относительно дифференциалов одну и ту же степень. Коэффициенты дифференциальных Форма (матем.) могут произвольно зависеть от самих переменных. Рассматриваются и полилинейные дифференциальные Форма (матем.) Примерами дифференциальных Форма (матем.) являются первая и вторая квадратичные Форма (матем.) поверхностей теории. Важную роль в дифференциальной геометрии играют целые рациональные функции от коэффициентов квадратичных Форма (матем.) и их производных, не изменяющиеся при любых дифференцируемых невырождающихся преобразованиях переменных (дифференциальные инварианты). Например, полная, или гауссова, кривизна поверхности является дифференциальным инвариантом первой квадратичной Форма (матем.) Исследования по теории дифференциальных инвариантов сыграли важную роль в возникновении тензорного исчисления. Теория дифференциальных инвариантов находит большое применение в физике, позволяя давать инвариантные (не зависящие от выбора системы координат) формулировки физическим законам.

Многие теоремы интегрального исчисления (см. Грина формулы, Остроградского формула, Стокса формула) могут рассматриваться как теоремы о связи дифференциальных Форма (матем.) различной степени. Обобщая эти соотношения, Э. Картан построил теорию внешнего дифференцирования Форма (матем.), играющую важную роль в современной математике.

Лит.: Веблен О., Инварианты дифференциальных квадратичных форм, пер. с англ., М., 1948; Гуревич Г. Б., Основы теории алгебраических инвариантов, М. – Л.. 1948; Гантмахер Форма (матем.) Р., Теория матриц, 3 изд., М., 1967; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972.