Общий интеграл

Определение "Общий интеграл" в Большой Советской Энциклопедии

Общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения
F (x, у, у",..., y ⁽ⁿ⁾) =0
— соотношение
F(х, у, C₁,..., C_n) =0,

содержащее и существенных произвольных постоянных C₁,..., C_n, следствием которого является данное дифференциальное уравнение (см. Дифференциальные уравнения). Иными словами, это уравнение должно представлять собой результат исключения постоянных C₁ (i = 1,..., n) из уравнений:
, (*)

причём эти постоянные существенны в том смысле, что процесс исключения их из системы (*) не может привести к дифференциальному уравнению, отличному от данного. Общий интеграл тесно связан с общим решением. Если постоянным C_i, входящим в Общий интеграл, дать определённые значения, то получим частый интеграл. Неполное исключение постоянных C_i из системы (*) приводит к промежуточному интегралу

F_k (х, у, у",..., у ^(n-k)), C₁,..., C_k = 0

(где 1 £ k  £ n—1); в частности, при k = 1— к первому интегралу. Геометрически Общий интеграл представляет n-параметрическое семейство интегральных кривых.
Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959.