Показательная функция

Определение "Показательная функция" в Большой Советской Энциклопедии

Показательная функция. Рис.
Показательная функция, экспоненциальная функция, важная элементарная функция
f (z) = ez,



обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) Показательная функция определяется соотношением
;


  Очевидно, что e0 = 1; при n = 1 значение Показательная функция равно е - основанию натуральных логарифмов. Показательная функция обладает следующими основными свойствами:
 и


при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) Показательная функция ex > 0 и при n ® ¥ возрастает быстрее любой степени х, а при х ® - ¥ убывает быстрее любой степени 1/x:
, ,


каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к Показательная функция, является логарифмическая функция: если w = ez, то z = lnw.


  Рассматривается также Показательная функция az при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются Показательная функция 2x, (1/2) x и т.д.]. Показательная функция az связана с Показательная функция ez (основной) соотношением
az = ezlna.



Показательная функция ex является целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной ряд:
,     (1)
сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением Показательная функция
Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:
ez = ex+iy = ex (cosy + isiny),     (2)
связывающую Показательная функция с тригонометрическими функциями. Из неё вытекают соотношения:
, .
  Функции
 ch y,  = sh y


называются гиперболическими функциями, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.


Из соотношения (2) следует, что Показательная функция (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть ez+2pi = ez или e2pi = 1. Производная Показательная функция равна самой функции: (ez)" = ez.


  Указанными свойствами Показательная функция определяются её многочисленные приложения. В частности, Показательная функция выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность Показательная функция комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.




"БСЭ" >> "П" >> "ПО" >> "ПОК"

Статья про "Показательная функция" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 191 раз
Гороховое пюре
Куриный суп

TOP 20