Показательная функция

Определение "Показательная функция" в Большой Советской Энциклопедии

Показательная функция. Рис.

Показательная функция, экспоненциальная функция, важная элементарная функция
f (z) = e^z,

обозначается иногда expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) Показательная функция определяется соотношением
;

  Очевидно, что e⁰ = 1; при n = 1 значение Показательная функция равно е - основанию натуральных логарифмов. Показательная функция обладает следующими основными свойствами:
 и

при любых значениях z₁ и z₂, кроме того, на действительной оси (рис.) Показательная функция e^x > 0 и при n ® ¥ возрастает быстрее любой степени х, а при х ® - ¥ убывает быстрее любой степени 1/x:
, ,

каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к Показательная функция, является логарифмическая функция: если w = e^z, то z = lnw.

  Рассматривается также Показательная функция a^z при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются Показательная функция 2^x, (¹/₂) ^x и т.д.]. Показательная функция a^z связана с Показательная функция e^z (основной) соотношением
a^z = e^zlna.

Показательная функция e^x является целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной ряд:
,     (1)
сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением Показательная функция
Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:
e^z = e^x+iy = e^x (cosy + isiny),     (2)
связывающую Показательная функция с тригонометрическими функциями. Из неё вытекают соотношения:
, .
  Функции
 ch y,  = sh y

называются гиперболическими функциями, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

Из соотношения (2) следует, что Показательная функция (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть e^z+2pi = e^z или e^2pi = 1. Производная Показательная функция равна самой функции: (e^z)" = e^z.

  Указанными свойствами Показательная функция определяются её многочисленные приложения. В частности, Показательная функция выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность Показательная функция комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.