БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Показательная функция

Значение слова "Показательная функция" в Большой Советской Энциклопедии


Показательная функция, экспоненциальная функция, важная элементарная функция

f (z) = ez,

обозначается иногда
Рис. к ст. Показательная функция.
expz; встречается в многочисленных приложениях математики к естествознанию и технике. Для любого значения z (действительного или комплексного) Показательная функция определяется соотношением

;

  Очевидно, что e0 = 1; при n = 1 значение Показательная функция равно е - основанию натуральных логарифмов. Показательная функция обладает следующими основными свойствами:

 и

при любых значениях z1 и z2, кроме того, на действительной оси (рис.) Показательная функция ex > 0 и при n ® ¥ возрастает быстрее любой степени х, а при х ® - ¥ убывает быстрее любой степени 1/x:

, ,

каков бы ни был показатель n. Функцией, обратной по отношению к Показательная функция, является логарифмическая функция: если w = ez, то z = lnw.

  Рассматривается также Показательная функция az при основаниях а > 0, отличных от е [например, в школьном курсе математики для действительных значений z = х рассматриваются Показательная функция 2x, (1/2) x и т.д.]. Показательная функция az связана с Показательная функция ez (основной) соотношением

az = ezlna.

  Показательная функция ex является целой трансцендентной функцией. Она допускает следующее разложение в степенной ряд:

,     (1)

сходящийся во всей плоскости z. Равенство (1) также может служить определением Показательная функция

  Полагая z = х + iy, Л. Эйлер получил (1748) формулу:

ez = ex+iy = ex (cosy + isiny),     (2)

связывающую Показательная функция с тригонометрическими функциями. Из неё вытекают соотношения:

, .

  Функции

 ch y,  = sh y

называются гиперболическими функциями, обладают рядом свойств, сходных со свойствами тригонометрических функций, и играют наряду с последними важную роль в различных приложениях математики.

  Из соотношения (2) следует, что Показательная функция (комплексного переменного z) имеет период 2pi, то есть ez+2pi = ez или e2pi = 1. Производная Показательная функция равна самой функции: (ez)" = ez.

  Указанными свойствами Показательная функция определяются её многочисленные приложения. В частности, Показательная функция выражает закон (т. н. закон естественного роста), определяющий течение процессов, скорость которых пропорциональна наличному значению изменяющейся величины; примером могут служить химические мономолекулярные реакции или, при известных условиях, рост колоний бактерий. Периодичность Показательная функция комплексного переменного наряду с другими её свойствами является причиной, по которой эта функция играет исключительно важную роль при изучении всяких периодических процессов, в частности колебаний и распространения волн.

Рис. к ст. Показательная функция.
Рис. к ст. Показательная функция.


В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Показательная функция"

Показатель цвета | Буква "П" | В начало | Буквосочетание "ПО" | Показательное распределение


Статья про слово "Показательная функция" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 20491 раз


Интересное