Резонанс

Определение "Резонанс" в Большой Советской Энциклопедии

Амплитуды смещений

Резонанс (франц. resonance, от лат. resono — звучу в ответ, откликаюсь), явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний в какой-либо колебательной системе, наступающее при приближении частоты периодического внешнего воздействия к некоторым значениям, определяемым свойствами самой системы. В простейших случаях Резонанс наступает при приближении частоты внешнего воздействия к одной из тех частот, с которыми происходят собственные колебания в системе, возникающие в результате начального толчка. Характер явления Резонанс существенно зависит от свойств колебательной системы. Наиболее просто Резонанс протекает в тех случаях, когда периодическому воздействию подвергается система с параметрами, не зависящими от состояния самой системы (т. н. линейные системы).

Два связанных электрических контура

  Типичные черты Резонанс можно выяснить, рассматривая случай гармонического воздействия на систему с одной степенью свободы: например, на массу m, подвешенную на пружине, находящуюся под действием гармонической силы F = F₀ coswt (рис. 1), или электрическую цепь, состоящую из последовательно соединённых индуктивности L, ёмкости С, сопротивления R и источника электродвижущей силы Е, меняющейся по гармоническому закону (рис. 2). Для определенности в дальнейшем рассматривается первая из этих моделей, но всё сказанное ниже можно распространить и на вторую модель. Примем, что пружина подчиняется закону Гука (это предположение необходимо, чтобы система была линейна), т. е., что сила, действующая со стороны пружины на массу m, равна kx, где х — смещение массы от положения равновесия, k — коэффициент упругости (сила тяжести для простоты не принимается во внимание). Далее, пусть при движении масса испытывает со стороны окружающей среды сопротивление, пропорциональное её скорости  и коэффициенту трения b, т. е. равное k (это необходимо, чтобы система оставалась линейной). Тогда уравнение движения массы m при наличии гармонической внешней силы F имеет вид:
     (1)

Механическая колебательная система

где F₀ — амплитуда колебания, w — циклическая частота, равная 2p/Т, Т — период внешнего воздействия,  — ускорение массы m. Решение этого уравнения может быть представлено в виде суммы двух решений. Первое из этих решений соответствует свободным колебаниям системы, возникающим под действием начального толчка, а второе — вынужденным колебаниям. Собственные колебания в системе вследствие наличия трения и сопротивления среды всегда затухают, поэтому по истечении достаточного промежутка времени (тем большего, чем меньше затухание собственных колебаний) в системе останутся одни только вынужденные колебания. Решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид:
,     (2)

Резонансная кривая с двумя максимумами

причём tgj = . Т. о., вынужденные колебания представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте внешнего воздействия; амплитуда и фаза вынужденных колебаний зависят от соотношения между частотой внешнего воздействия и параметрами системы.

Электрическая колебательная система

Зависимость амплитуды смещений при вынужденных колебаниях от соотношения между величинами массы m и упругости k легче всего проследить, полагая, что m и k остаются неизменными, а изменяется частота внешнего воздействия. При очень медленном воздействии (w ® 0) амплитуда смещений x₀ » F₀/k. С увеличением частоты w амплитуда x₀ растет, т. к. знаменатель в выражении (2) уменьшается. Когда w приближается к значению  (т. е. к значению частоты собственных колебаний при малом их затухании), амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума — наступает Резонанс Далее с увеличением w амплитуда колебаний монотонно убывает и при w ® ¥ стремится к нулю.

Электрическая колебательная система

Амплитуду колебаний при Резонанс можно приближённо определить, полагая w = . Тогда x₀ = F₀/bw, т. е. амплитуда колебаний при Резонанс тем больше, чем меньше затухание b в системе (рис. 3). Наоборот, при увеличении затухания системы Резонанс становится всё менее резким, и если b очень велико, то Резонанс вообще перестаёт быть заметным. С энергетической точки зрения Резонанс объясняется тем, что между внешней силой и вынужденными колебаниями устанавливаются такие фазовые соотношения, при которых в систему поступает наибольшая мощность (т. к. скорость системы оказывается в фазе с внешней силой и создаются наиболее благоприятные условия для возбуждения вынужденных колебаний).

Если на линейную систему действует периодическое, но не гармоническое внешнее воздействие, то Резонанс наступит только тогда, когда во внешнем воздействии содержатся гармонические составляющие с частотой, близкой к собственной частоте системы. При этом для каждой отдельной составляющей явление будет протекать так же, как рассмотрено выше. А если этих гармонических составляющих с частотами, близкими к собственной частоте системы, будет несколько, то каждая из них будет вызывать резонансные явления, и общий эффект, согласно суперпозиции принципу, будет равен сумме эффектов от отдельных гармонических воздействий. Если же во внешнем воздействии не содержится гармонических составляющих с частотами, близкими к собственной частоте системы, то Резонанс вообще не наступает. Т. о., линейная система отзывается, «резонирует» только на гармонические внешние воздействия.

В электрических колебательных системах, состоящих из последовательно соединённых ёмкости С и индуктивности L (рис. 2), Резонанс состоит в том, что при приближении частот внешней эдс к собственной частоте колебательной системы, амплитуды эдс на катушке и напряжения на конденсаторе порознь оказываются гораздо больше амплитуды эдс, создаваемой источником, однако они равны по величине и противоположны по фазе. В случае воздействия гармонической эдс на цепь, состоящую из параллельно включенных ёмкости и индуктивности (рис. 4), имеет место особый случай Резонанс (антирезонанс). При приближении частоты внешней эдс к собственной частоте контура LC происходит не возрастание амплитуды вынужденных колебаний в контуре, а наоборот, резкое уменьшение амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей контур. В электротехнике это явление называется Резонанс токов или параллельным Резонанс Это явление объясняется тем, что при частоте внешнего воздействия, близкой к собственной частоте контура, реактивные сопротивления обеих параллельных ветвей (ёмкостной и индуктивной) оказываются одинаковыми по величине и поэтому в обеих ветвях контура текут токи примерно одинаковой амплитуды, но почти противоположные по фазе. Вследствие этого амплитуда тока во внешней цепи (равного алгебраической сумме токов в отдельных ветвях) оказывается гораздо меньшей, чем амплитуды тока в отдельных ветвях, которые при параллельном Резонанс достигают наибольшей величины. Параллельный Резонанс, так же как и последовательный Резонанс, выражается тем резче, чем меньше активное сопротивление ветвей контура Резонанс Последовательный и параллельный Резонанс называются соответственно Резонанс напряжений и Резонанс токов.

В линейной системе с двумя степенями свободы, в частности в двух связанных системах (например, в двух связанных электрических контурах; рис. 5), явление Резонанс сохраняет указанные выше основные черты. Однако, т. к. в системе с двумя степенями свободы собственные колебания могут происходить с двумя различными частотами (т. н. нормальные частоты, см. Нормальные колебания), то Резонанс наступает при совпадении частоты гармонического внешнего воздействия как с одной, так и с другой нормальной частотой системы. Поэтому, если нормальные частоты системы не очень близки друг к другу, то при плавном изменении частоты внешнего воздействия наблюдаются два максимума амплитуды вынужденных колебаний (рис. 6). Но если нормальные частоты системы близки друг к другу и затухание в системе достаточно велико, так что Резонанс на каждой из нормальных частот «тупой», то может случиться, что оба максимума сольются. В этом случае кривая Резонанс для системы с двумя степенями свободы теряет свой «двугорбый» характер и по внешнему виду лишь незначительно отличается от кривой Резонанс для линейного контура с одной степенью свободы. Т. о., в системе с двумя степенями свободы форма кривой Резонанс зависит не только от затухания контура (как в случае системы с одной степенью свободы), но и от степени связи между контурами.

В связанных системах также существует явление, которое в известной мере аналогично явлению антирезонанса в системе с одной степенью свободы. Если в случае двух связанных контуров с различными собственными частотами настроить вторичный контур L₂C₂ на частоту внешней эдс, включенной в первичный контур L₁C₁ (рис. 5), то сила тока в первичном контуре резко падает и тем резче, чем меньше затухание контуров. Объясняется это явление тем, что при настройке вторичного контура на частоту внешней эдс в этом контуре возникает как раз такой ток, который в первичном контуре наводит эдс индукции, примерно равную внешней эдс по амплитуде и противоположную ей по фазе.

В линейных системах со многими степенями свободы и в сплошных системах Резонанс сохраняет те же основные черты, что и в системе с двумя степенями свободы. Однако в этом случае, в отличие от систем с одной степенью свободы, существенную роль играет распределение внешнего воздействия по отдельным координатам. При этом возможны такие специальные случаи распределения внешнего воздействия, при которых, несмотря на совпадения частоты внешнего воздействия с одной из нормальных частот системы, Резонанс всё же не наступает. С энергетической точки зрения это объясняется тем, что между внешней силой и вынужденными колебаниями устанавливаются такие фазовые соотношения, при которых мощность, поступающая в систему от источника возбуждения по одной координате, равна мощности, отдаваемой системой источнику по другой координате. Пример этого — возбуждение вынужденных колебаний в струне, когда внешняя сила, совпадающая по частоте с одной из нормальных частот струны, приложена в точке, которая соответствует узлу скоростей для данного нормального колебания (например, сила, совпадающая по частоте с основным тоном струны, приложена у самого конца струны). При этих условиях (вследствие того, что внешняя сила приложена к неподвижной точке струны) эта сила не совершает работы, мощность от источника внешней силы в систему не поступает и сколько-нибудь заметного возбуждения колебаний струны не возникает, т. е. Резонанс не наблюдается.

Резонанс в колебательных системах, параметры которых зависят от состояния системы, т. е. в нелинейных системах, имеет более сложный характер, чем в системах линейных. Кривые Резонанс в нелинейных системах могут стать резко несимметричными, и явление Резонанс может наблюдаться при различных соотношениях частот воздействия и частот собственных малых колебаний системы (т. н. дробный, кратный и комбинационный Резонанс). Примером Резонанс в нелинейных системах может служить т. н. феррорезонанс, т. е. резонанс в электрической цепи, содержащей индуктивность с ферромагнитным сердечником, или ферромагнитный резонанс, представляющий собой явление, связанное с Резонанс элементарных (атомных) магнитов вещества при приложении высокочастотного магнитного поля (см. Радиоспектроскопия).

  Если внешнее воздействие производит периодические изменение энергоёмких параметров колебательной системы (например, ёмкости в электрическом контуре), то при определённых соотношениях частот изменения параметра и собственной частоты свободных колебаний системы возможно параметрическое возбуждение колебаний, или параметрический Резонанс

Резонанс весьма часто наблюдается в природе и играет огромную роль в технике. Большинство сооружений и машин способны совершать собственные колебания, поэтому периодические внешние воздействия могут вызвать их Резонанс; например Резонанс моста под действием периодических толчков при прохождении поезда по стыкам рельсов, Резонанс фундамента сооружения или самой машины под действием не вполне уравновешенных вращающихся частей машин и т. д. Известны случаи, когда целые корабли входили в Резонанс при определённых числах оборотов гребного вала. Во всех случаях Резонанс приводит к резкому увеличению амплитуды вынужденных колебаний всей конструкции и может привести даже к разрушению сооружения. Это вредная роль Резонанс, и для устранения его подбирают свойства системы так, чтобы её нормальные частоты были далеки от возможных частот внешнего воздействия, либо используют в том или ином виде явление антирезонанса (применяют т. н. поглотители колебаний, или успокоители). В др. случаях Резонанс играет положительную роль, например: в радиотехнике Резонанс — почти единственный метод, позволяющий отделить сигналы одной (нужной) радиостанции от сигналов всех остальных (мешающих) станций.
Лит.: Стрелков С. П., Введение в теорию колебаний, 2 изд., М., 1964; Горелик Г. С., Колебания и волны, Введение в акустику, радиофизику и оптику 2 изд. М., 1959.

Рис. 1. Механическая колебательная система.


Рис. 5. Пример двух связанных электрических контуров.

C и индуктивности L." href="/a_pictures/18/10/213268392.jpg">C и индуктивности L."http://carbon.atomistry.com/">C и индуктивности L." src="a_pictures/18/10/th_213268392.jpg">
Рис. 2. Электрическая колебательная система с последовательными включением емкости C и индуктивности L.