Спирали

Определение "Спирали" в Большой Советской Энциклопедии

Архимедова спираль

Спирали (франц., единственное число spirale, от лат. spira, греч. speira - виток), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс полярной системы координат, то полярное уравнение Спирали r = f(j) таково, что f(j + 2p) > f(j) или f(j + 2p) < f(j) при всех j. В частности, Спирали получаются, если f(j) - монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. Наиболее простой вид имеет уравнение архимедовой Спирали (см. рис.): r = аj, изученной древнегреческим математиком Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга в сочинении «О спиралях». Архимед нашёл площадь сектора этой Спирали, что было одним из первых примеров квадратуры криволинейной области. Архимедова Спирали является подерой (см. Подера и антиподера) эвольвенты круга (см. Эволюта и эвольвента), что используется в некоторых конструкциях разводных мостов для уравновешивания переменного натяжения цепи. Если эксцентрик ограничен дугами архимедовой Спирали (сердцевидный эксцентрик), то он преобразует равномерное вращательное движение в равномерное поступательное, причём расстояние между диаметрально противоположными точками эксцентрика постоянно. Французский математик П. Ферма исследовал обобщённые архимедовы Спирали (r/a)ⁿ = (j/2p)^m и нашёл площадь их сектора.

Уравнение r = ае^кj задаёт логарифмическую Спирали (см. рис.). Логарифмическая Спирали пересекает под одним и тем же углом а все радиус-векторы, проведённые из полюса, причём ctga = k. Это свойство логарифмической Спирали используется при проектировании вращающихся ножей, фрез и т. д. для достижения постоянства угла резания. Логарифмическая Спирали встречается также в теории спиральных приводов к гидравлическим турбинам и т. д. В теории зубчатых колёс используется возможность качения без скольжения одной логарифмической Спирали по другой, равной с ней, когда обе Спирали вращаются вокруг своих полюсов. При этом получаются зубчатые передачи с переменным передаточным числом. При стереографической проекции плоскости на сферу логарифмической Спирали переходит в локсодромию (кривую, пересекающую все меридианы под одним и тем же углом). Определение длин дуг логарифмической Спирали дано итал. учёным Э. Торричелли. Длина дуги логарифмической Спирали пропорциональна разности длин радиус-векторов, проведённых в концы дуги, точнее равна . Швейц. учёный Я. Бернулли показал, что эволюта и каустика (см. Каустическая поверхность) логарифмической Спирали являются логарифмическими Спирали При вращении вокруг полюса логарифмической Спирали получается кривая, гомотетичная (см. Гомотетия) исходной. При инверсии логарифмическая Спирали переходит в логарифмическую Спирали

Из других Спирали практическое значение имеет Корню Спирали (или клотоида), применяемая при графическом решении некоторых задач дифракции (см. рис.). Параметрическое уравнение этой Спирали имеет вид:
, .

Корню Спирали является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути, так как её радиус кривизны возрастает пропорционально длине дуги. Спирали являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности.

Названия некоторым Спирали даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например параболическая Спирали (см. рис.): (а - r)² = bj, гиперболическая Спирали(см. рис.): r = а/j. К Спирали относятся также жезл (см. рис.): r² = a/j и si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид:
,

[si (t) и ci (t) - интегральный синус и интегральный косинус]. Кривизна si-ci-cпирали изменяется с длиной дуги по закону показательной функции. Такие Спирали применяют в качестве профиля для лекал.

Напоминает Спирали кривая , называемая кохлеоидой (см. рис.). Она бесконечное множество раз проходит через полюс, причём каждый следующий завиток лежит в предыдущем.
Спирали встречаются также при рассмотрении особых точек в теории дифференциальных уравнений (см. Особые точки).
Спирали иногда называют также пространственные кривые, делающие бесконечно много оборотов вокруг некоторой оси, например винтовая линия.
Лит. см. при ст. Линия.