БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ БОЛЬШАЯ СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ, БСЭ
Навигация:

Библиотека DJVU
Photogallery

БСЭ

Статистика:


Линия (геометрич. понятие)

Значение слова "Линия (геометрич. понятие)" в Большой Советской Энциклопедии


Линия (от лат. linea), геометрическое понятие, точное и в то же время достаточно общее определение которого представляет значительные трудности и осуществляется в различных разделах геометрии
Алгебраические кривые третьего порядка: 1 — декартов лист; 2 — локон Аньези; 3 — кубическая парабола; 4 — полукубическая парабола; 5 — строфоида; 6 — циссоида Диоклеса.
различно.

  1) В элементарной геометрии рассматриваются прямые Линия (геометрич. понятие), отрезки прямых, ломаные Линия (геометрич. понятие), составленные из отрезков, и некоторые кривые Линия (геометрич. понятие) Каждый вид кривых Линия (геометрич. понятие) определяется тем или иным специальным способом (например, окружность определяется как геометрическое место точек, имеющих заданное расстояние R от заданной точки О — центра окружности). Иногда в учебниках дают определение Линия (геометрич. понятие) как границы куска поверхности (поверхность определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки. Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой формулировки.

  2) Представление о Линия (геометрич. понятие) как траектории движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического представления Линия (геометрич. понятие) Например, вводя на плоскости прямоугольные координаты (x, у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале координат уравнениями

  x = R cos t, y = R sin t.

  Когда параметр t пробегает отрезок 0 £ t £ 2p, точка (х, у) описывает окружность. Вообще, Линия (геометрич. понятие) на плоскости задают параметрическими уравнениями вида

  x = j (t), у = (t),

  где j (t), (t) — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь конечном или бесконечном интервале D числовой оси t. С каждым значением параметра t (из интервала D) уравнения (*) сопоставляют некоторую точку M, координаты которой определяются этими уравнениями. Линия (геометрич. понятие), заданная параметрическими уравнениями (*) есть множество точек, соответствующих всевозможным значениям t из D, при условии, что эти точки рассматриваются в определенном порядке, именно: если точка M1 соответствует значению параметра t1, а точка M2 — значению t2, то M1 считается предшествующей M2, если t1 < t2 При этом точки, отвечающие различным значениям параметра, всегда считаются различными.

  Аналогично, в трёхмерном пространстве Линия (геометрич. понятие) задаётся параметрически тремя уравнениями вида

  x = j (t), у = (t), z = c (t),

  где j (t), (t), c (t) — произвольные функции, непрерывные на каком-нибудь интервале. В произвольном топологическом пространстве Т (которое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью, обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.) Линия (геометрич. понятие) параметрически задают уравнением вида

  P = j (t),

  где j — функция действительного переменного t, непрерывная на каком-либо интервале, значения которой суть точки пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают одну и ту же Линия (геометрич. понятие), если они определяют один и тот же порядок следования её точек (в смысле, указанном выше).

  В анализе и топологии рассматривают обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а £ t £ b. В этом случае условие того, чтобы два параметрических представления

  Р = j (t), a £ t £ b

  P = j1(t1), a1 £ t1 £ b1,

  изображали одну и ту же Линия (геометрич. понятие), заключается в существовании непрерывной и строго возрастающей функции

  t1 =  f(t),

  для которой

  f(a) = a1, f(b) = b1, j (t) = j1[f(t)].

  Такое понимание термина «Линия (геометрич. понятие)» наиболее естественно в большинстве вопросов анализа (например, в теории криволинейных интегралов) и механики. Так как Линия (геометрич. понятие) здесь рассматривается вместе с порядком, в котором пробегает её точки переменная точка М при возрастании t, то при этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки Линия (геометрич. понятие) через какую-либо точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один раз, Линия (геометрич. понятие) может иметь кратные точки, которые проходятся несколько раз (отвечающие различным значениям параметра).

  Например, при изменении t в пределах — ¥ < t < ¥ точка с координатами

  ,

  описывает строфоиду (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 5), попадая в положение х = 0, у = 0 два раза при t = — 1 и t = + 1.

  3) Из аналитической геометрии известен и другой способ задания Линия (геометрич. понятие) на плоскости уравнением

  F(x, y) = 0;

  в пространстве — двумя уравнениями

  F(x, у, z) = 0, G(x, y, z) = 0.

  Ограничиваясь случаем плоскости, укажем лишь, как строится понятие алгебраической Линия (геометрич. понятие) (кривой) — Линия (геометрич. понятие), определяемой уравнением

  F(x, y) = 0,

  где F(x, у) — целая алгебраическая функция, т. е. многочлен како-либо степени n ³ 1. В этом случае считают, что два многочлена F1(x, у) и F2(x, у) определяют одну и ту же алгебраическую Линия (геометрич. понятие) в том и только в том случае, когда существует такая постоянная с ¹ 0, что выполняется тождественно соотношение

  F1(x, y) = cF2(x, у).

  Таким образом, все многочлены, определяющие одну и ту же Линия (геометрич. понятие), имеют одну и ту же степень n, называемую порядком соответствующей Линия (геометрич. понятие) Например, в аналитической геометрии принято считать, что уравнение

  (х - у)2 = 0

  определяет Линия (геометрич. понятие) второго порядка, а именно, дважды взятую прямую х — у = 0.

  В связи с последним примером необходимо заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением неприводимых алгебраических Линия (геометрич. понятие), т. е. таких Линия (геометрич. понятие), для которых многочлен не допускает представления F = GH, где G и Н — отличные от постоянных многочлены. Далее, в пункте 4, имеется в виду только этот случай.

  Говорят, что точка (x0, y0) кривой F(x, у) = 0 имеет кратность m, если разложение F(x, у) по степеням x = х — x0, h = у — y0 начинается с членов степени m (по совокупности переменных x и h). В случае m = 2, т. е. в случае двойной точки

  F(x, у) = а11(х — x0)2 + 2а12(х — x0) (у — y0) + a22(y — y0)2 + ...,

  где многоточие означает, что далее следуют члены высших порядков. При помощи дискриминанта

  d = a11a22 — а122

  можно определить тип двойной точки (см. Особые точки).

  4) Часто, особенно при изучении алгебраической Линия (геометрич. понятие), целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии, т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости (или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, например, утверждение, что две Линия (геометрич. понятие) порядков n и m пересекаются в mn точках. В случае m = 1 это приводит к возможности определить порядок Линия (геометрич. понятие) как число n точек её пересечения с прямой.

  С проективной точки зрения естественно задавать Линия (геометрич. понятие) на плоскости однородным уравнением

  F(x1, x2, x3) = 0

  между однородными координатами x1, x2, x3 её точек. В силу принципа двойственности с этим заданием равноправно задание Линия (геометрич. понятие) уравнением

  F(x1, x2, x3) = 0,

  связывающим однородные координаты прямых, касающихся Линия (геометрич. понятие) Таким образом, наряду с порядком Линия (геометрич. понятие) (степенью уравнения F = 0) естественно возникает понятие класса Линия (геометрич. понятие) — степени уравнения F = 0. Класс алгебраических Линия (геометрич. понятие) можно также определить как число касательных, которые можно провести к Линия (геометрич. понятие) из произвольной точки. О параметрическом представлении Линия (геометрич. понятие) см. также Уникурсальные кривые.

  5) Рассмотренные выше (в пунктах 2—4) уточнения и обобщения понятия Линия (геометрич. понятие) существенно связаны с соответствующим алгебраическим и аналитическим аппаратом. В отличие от этого, современная топология выдвинула задачу уточнения представления о Линия (геометрич. понятие) как о множестве точек, независимо от алгебраического или аналитического способов задания этого множества.

  Если исходить из параметрического задания Линия (геометрич. понятие) в виде непрерывной функции P = j (t), где t пробегает отрезок а £ t £ b, но интересоваться только полученным множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию Линия (геометрич. понятие), сформулированному в 80-x гг. 19 в. К. Жорданом (см. Жордана кривая). Оказывается, что таким непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум, в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая). Поэтому теперь обычно предпочитают говорить не о Линия (геометрич. понятие) в смысле Жордана, а о локально связных, или жордановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный образ отрезка называют простой дугой, или жордановой дугой. Взаимно однозначный непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Линия (геометрич. понятие) Простые дуги и простые замкнутые Линия (геометрич. понятие) не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих наименования Линия (геометрич. понятие)

  Избегая и чрезмерной общности, и чрезмерного сужения понятия Линия (геометрич. понятие), в современной топологии пользуются понятием Линия (геометрич. понятие), введённым в 1921 П. С. Урысоном, который определяет Линия (геометрич. понятие) (кривую) как произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность единица, если при любом e > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного числа замкнутых множеств диаметра, меньшего e, обладающих тем свойством, что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Линия (геометрич. понятие) в смысле Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Линия (геометрич. понятие), лежащие на плоскости, Г. Кантор. Хотя определение Кантора применимо только к Линия (геометрич. понятие), лежащим на плоскости, иногда и общие Линия (геометрич. понятие) в смысле Урысона называют «канторовыми кривыми».

  Линия (геометрич. понятие) Н. Колмогоров.

  6) Ещё математики древности изучали линии второго порядка (эллипс, гиперболу и параболу). Ими же был рассмотрен ряд отдельных замечательных алгебраических Линия (геометрич. понятие) более высокого порядка, а также некоторые трансцендентные (неалгебраические) Линия (геометрич. понятие) Систематическое изучение Линия (геометрич. понятие) и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии (Р. Декарт).

  Из Линия (геометрич. понятие) третьего порядка наиболее известны:

  Декартов лист (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 1). уравнение в прямоугольных координатах: x3 + y3 — 3аху = 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( —а, 0) и (0, —а), была определена позднее (1692) Х. Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» установилось в начале 18 в.

  Локон Аньези (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 2). Пусть имеется круг с диаметром OC = -а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD = OC : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у = a3/(a2 + x2). Исследование этой Линия (геометрич. понятие) связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748).

  Кубическая парабола (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 3). уравнение в прямоугольных координатах: у = x3.

  Полукубическая парабола (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 4), парабола Нейля. уравнение в прямоугольных координатах: у = -сх3/2. Названа по имени английского математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги.

  Строфоида (от греч. stróphos — кручёная лента и éidos — вид) (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 5). Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM" = NO, то геометрическое место точек М и М" для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: r = —a cos 2j/cosj. Впервые строфоиду исследовал Э. Торричелли (1645), название было введено в середине 19 в.

  Циссоида Диоклеса (см. рис. «Алгебраические кривые третьего порядка», № 6) (греч. kissoeides, от kissós — плющ и éidos — вид), геометрическое место точек М, для которых OM = PQ (Р — произвольная точка производящего круга с диаметром а). Уравнение в прямоугольных координатах: y2 = х3/(а — х); в полярных координатах: r = asin2 j/cos j. Древние греки рассматривали только ту часть циссоиды, которая находится внутри производящего круга. Вместе с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. французским математиком Ж. П. Робервалем и независимо от него бельгийским математиком Р. Ф. Слюзом.

  Из Линия (геометрич. понятие) четвёртого и более высоких порядков наиболее известны:

  Кардиоида (от греч. kardía — сердце и éidos — вид) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 1), кривая, описываемая какой-либо точкой М окружности радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 — 2ах)2 = 4a(x2 + y2); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).

  Конхоида Никомеда (от греч. konchoeides — похожий на раковину) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 2), кривая, получающаяся при увеличении или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту же величину d, т. о., OM = OPd или OM" = OP + d. Если расстояние от полюса О до данной прямой равно а, то уравнение в прямоугольных координатах: (х — а)2(х2 + y2) — d2x2 = 0, в полярных координатах: r = a/cosj ± d. Впервые рассматривалась древнегреческим геометром Никомедом (около 250—150 до нашей эры), который использовал её для решения задач о трисекции угла и удвоении куба.

  Лемниската Бернулли (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 3) (от лат. lemniscatus, буквально — украшенный лентами), кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов F1 ( — а, 0) и F2 (а, 0) равно а2. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2)2 — 2a2 (x2 — y2) =0, в полярных координатах: r2 = 2а2 cos 2j. Впервые рассматривалась Я. Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.

  Овалы Декарта (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 4), геометрические места точек М, расстояния которых от двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, умноженные на данные числа, имеют постоянную сумму с, то есть mMF1 + + nMF2 = с. уравнение в прямоугольных координатах:

  (x + y’’ —2rx)2 — l2(x2 + y2) — k = 0,

  где r, l и k — некоторые постоянные, связанные с параметрами m, n и d; в полярных координатах:

  (n2 — m2)(2 + 2((mc — n2d cos () + n2d2 — с2 = 0.

  Помимо фокусов F1 и F2, имеется и третий фокус F3, равноправный с каждым из них. При m = 1, n = 1 овал Декарта превращается в эллипс; при m = 1 и n = —1 — в гиперболу. Частным случаем овала является также улитка Паскаля. Овалы впервые исследовались Р. Декартом (1637).

  Овалы Кассини (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 5), геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть F1 и F2 точки на оси абсцисс, F1F2 = 2b, а произведение MF1×MF2 = а2. уравнение в прямоугольных координатах:

  (x2 + y2)2 — 2b2 (a2 — y2) = a4 — b4.

  Если , то овал Кассини — выпуклая кривая; если b < a < , то кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; при а = b овал Кассини превращается в лемнискату, наконец, при b > а овал Кассини является двусвязной кривой. Впервые рассмотрена Дж. Кассини (17 в.).

  Улитка Паскаля (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 6), геометрическое место точек М и M", расположенных на прямых пучка (центр которого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., PM = PM" = а. уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 — 2Rx)2 — а2(х2 + y2) = 0, в полярных координатах: r = 2R cos j + а. При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается в кардиоиду. Название по имени французского учёного Э. Паскаля (1588—1651), впервые изучавшего её.

  Астроида (от греч. ástron — звезда и éidos — вид) (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 7), кривая, описываемая точкой подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. уравнение в прямоугольных координатах: x2/3 + y2/3 = а2/3, где а — радиус неподвижной окружности. Астроида — линия 6-го порядка.

  Розы (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 8), кривые, полярное уравнение которых: r = a sin mj; если m — рациональное число, то розы — алгебраической Линия (геометрич. понятие) чётного порядка. При m нечётном роза состоит из от лепестков, при m чётном — из 2m лепестков; при m рациональном лепестки частично покрывают друг друга.

  Синусоидальные спирали, синус-спирали (см. рис. «Алгебраические кривые четвертого и более высоких порядков», № 9), кривые, полярное уравнение которых rm = am cosmj; если m — рациональное число, то эти Линия (геометрич. понятие) — алгебраические. Частные случаи: m = 1 — окружность, m = — 1 — прямая, m = 2 — лемниската Бернулли, m = —2 — равнобочная гипербола, m = 1/2 — кардиоида, m = — 1/2 — парабола. При целом m > 0 Линия (геометрич. понятие) состоит из m лепестков, каждый из которых лежит внутри угла, равного p/m, при рациональном m > 0 лепестки могут частично покрывать друг друга; если m < 0, то Линия (геометрич. понятие) состоит из от бесконечных ветвей.

  Большой интересный класс составляют трансцендентные Линия (геометрич. понятие) К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида, тангенсоида), логарифмической функции, показательной функции, гиперболических функций, а также следующие Линия (геометрич. понятие):

  Квадратриса (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 1). Пусть прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а прямая А"В" равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной OC. Далее, пусть за время движения A"B" от AB до OC прямая MN поворачивается на прямой угол и переходит из положения OA = r в положение OC. Геометрическое место точек Р пересечения прямых MN и A"B" и есть квадратриса. уравнение в прямоугольных координатах: ; в полярных координатах: . Часть квадратрисы, заключённая в квадрате OABC, была известна древнегреч. математикам. Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему её для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью квадратрнсы выполнил квадратуру круга.

  Трактриса (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 2), кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания М до точки Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. Уравнение в прямоугольных координатах:

  .

  Цепная линия (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 3), кривая, форму которой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы которой закреплены в двух точках. уравнение в прямоугольных координатах: у = a = а (ex/a + е-х/a)/2.

  Циклоида (от греч. kykloeides — кругообразный) (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4), кривая, которую описывает точка Р, расположенная на расстоянии а от центра круга радиуса r, катящегося без скольжения по прямой линии. Если Р лежит на окружности круга (r = а), получают обыкновенную циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4а), если она лежит внутри круга (r > а), — укороченную циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4б), если точка вне круга (r < а), — удлинённую циклоиду (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 4в). Две последние Линия (геометрич. понятие) называют трохоидами. Уравнение в параметрической форме:

  , .

  Среди трансцендентных Линия (геометрич. понятие) особый класс составляют спирали (от греч. spéira, буквально — витое), плоские кривые линии, бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс системы координат, то полярное уравнение спирали r = f(j) таково, что f(j + 2p) > f(j) или f(j + 2p) < f(j) при всех j. Из спиралей наиболее известны:

  Архимедова спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 5), кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время, как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. уравнение в полярных координатах: r = aj, где а — постоянная. Эта спираль изучалась Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга.

  Гиперболическая спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 6), кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой OA, так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально углу поворота. Уравнение в полярных координатах: r = а/j.

  Жезл (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 7), кривая, уравнение которой в полярных координатах: . Каждому значению j соответствуют два значения r — положительное и отрицательное. Кривая состоит из двух ветвей, каждая из которых асимптотически приближается к полюсу.

  Логарифмическая спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 8), кривая, уравнение которой в полярных координатах: r = аекj. Была известна многим математикам 17 в.

  Спираль Корню (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 9), клотоида, кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. уравнение в параметрической форме:

  , y = a.

  Использовалась французским физиком М. А. Корню (1874) для графич. решения некоторых задач дифракции света.

  Si-ci-спираль (см. рис. «Трансцендентные кривые», № 10), кривая, параметрическое уравнение которой имеет вид

  ,

  ,

  si(t) и ci(t) — интегральный синус и интегральный косинус.

  К циклоиде по способу построения примыкает класс циклоидальных кривых, которые могут быть как алгебраическими, так и трансцендентными. Среди них:

  Гипоциклоида (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 1а, 1б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности внутри её. Уравнение в параметрической форме:

  ,

  ,

  где А — радиус неподвижной, а а — подвижной окружности. Вид кривой зависит от отношения А/а.

  Эпициклоида (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 2а, 2б), кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой окружности вне её. Уравнение получится из уравнения гипоциклоиды заменой а на — а.

  Удлинённая гипоциклоида (эпициклоида), кривая, описываемая точкой, лежащей вне окружности, которая катится без скольжения по другой окружности внутри (вне) её (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 3а, 4д). Аналогично определяется укороченная гипоциклоида (эпициклоида) (см. рис. «Циклоидальные кривые», № 3б, 4б). Удлинённые и укороченные гипоциклоиды и эпициклоиды иногда называются гипо- и эпитрохоидами.

  В. И. Битюцков, Ю. А. Горьков, А. Б. Иванов.

 

  Лит.: Маркушевич А. И., Замечательные кривые, 2 изд., М. — Линия (геометрич. понятие), 1952; Савелов А. А., Плоские кривые. Систематика, свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А. С., Что такое линия, М., 1954; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Уокер А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М., 1952; Loria G., Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven. Theorie und Geschichte, 2 Aufl., Bd 1—2, Lpz. — B., 1910—11.

 

Алгебраические кривые третьего порядка: 1 — декартов лист; 2 — локон Аньези; 3 — кубическая парабола; 4 — полукубическая парабола; 5 — строфоида; 6 — циссоида Диоклеса.
Алгебраические кривые третьего порядка: 1 — декартов лист; 2 — локон Аньези; 3 — кубическая парабола; 4 — полукубическая парабола; 5 — строфоида; 6 — циссоида Диоклеса.


Алгебраические кривые четвёртого и более высоких порядков: 1 — кардиоида; 2 — конхоида Никомеда; 3 — лемниската Бернулли: 4 — овалы Декарта; 5 — овалы Кассини; 6 — улитка Паскаля; 7 — астроида; 8 — розы; 9 — синус-спираль.
Алгебраические кривые четвёртого и более высоких порядков: 1 — кардиоида; 2 — конхоида Никомеда; 3 — лемниската Бернулли: 4 — овалы Декарта; 5 — овалы Кассини; 6 — улитка Паскаля; 7 — астроида; 8 — розы; 9 — синус-спираль.


Циклоидальные кривые: 1 а, б — гипоциклоиды; 2 а, б — эпициклоиды; 3 а — удлинённая гипоциклоида; 3 б — укороченная гипоциклоида; 4а — удлинённая эпициклоида; 4б — укороченная эпициклоида.
Циклоидальные кривые: 1 а, б — гипоциклоиды; 2 а, б — эпициклоиды; 3 а — удлинённая гипоциклоида; 3 б — укороченная гипоциклоида; 4а — удлинённая эпициклоида; 4б — укороченная эпициклоида.


Трансцендентные кривые: 1 — квадратриса; 2 — трактриса; 3 — цепная линия; 4 — циклоида; 5 — архимедова спираль; 6 — гиперболическая спираль; 7 — жезл; 8 — логарифмическая спираль; 9 — спираль Корню; 10 — si-ci-cпираль.
Трансцендентные кривые: 1 — квадратриса; 2 — трактриса; 3 — цепная линия; 4 — циклоида; 5 — архимедова спираль; 6 — гиперболическая спираль; 7 — жезл; 8 — логарифмическая спираль; 9 — спираль Корню; 10 — si-ci-cпираль.


В Большой Советской Энциклопедии рядом со словом "Линия (геометрич. понятие)"

Линицкая Любовь Павловна | Буква "Л" | В начало | Буквосочетание "ЛИ" | Линия (в генетике)


Статья про слово "Линия (геометрич. понятие)" в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 11439 раз


Интересное