Элементарная геометрия

Определение "Элементарная геометрия" в Большой Советской Энциклопедии

Элементарная геометрия, часть геометрии, входящая в элементарную математику. Границы Элементарная геометрия, как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что Элементарная геометрия есть та часть геометрии, которая изучается в средней школе; это определение, однако, не только не вскрывает содержания и характера Элементарная геометрия, но и никак её не исчерпывает, т. к. в Элементарная геометрия включается обширный материал, лежащий вне школьных программ (например, аксиоматика, сферическая геометрия). Можно сказать, что Элементарная геометрия есть исторически и, соответственно, логически первая глава геометрии (поскольку из неё развились другие геометрические направления); в своих основах она сложилась в Древней Греции, и изложение её основ дают уже «Начала» Евклида (3 в. до н. э.). Такое историческое определение закономерно, но и оно также не уточняет общего содержания и характера Элементарная геометрия, тем более что развитие Элементарная геометрия продолжается и в настоящее время. Поэтому определение Элементарная геометрия должно быть раскрыто и дополнено.

В Древней Греции исследовали не только многоугольники, окружность, многогранники и др. фигуры, рассматриваемые в школьном курсе, но также конические сечения (эллипс, гипербола, парабола) и ряд других, более сложных, кривых и фигур (например, квадратриса). Однако каждый раз кривая (фигура) задавалась конкретным геометрическим построением, только такие кривые (фигуры) считались геометрическими, т. е. могущими быть предметом геометрии; другие же возможные кривые назывались механическим. Эта точка зрения была отвергнута в 17 в. Р. Декартом при создании им аналитической геометрии и полностью преодолена вместе с развитием анализа, когда предметом математики стали любые (по крайней мере любые аналитические) функции и кривые. В этом исторически ясно обозначенном переходе от конкретно определённых кривых (окружность, эллипс и т. д.) и функций (данная степень х, синус и т. п.) к любым, по крайней мере из обширного класса, кривым и функциям и состоит логический переход от элементарной математики, в частности от Элементарная геометрия, к высшей. Элементарная геометрия совершенно исключает рассмотрение любых аналитических кривых и поверхностей, которые составляют уже предмет дифференциальной геометрии, любых выпуклых тел, которые служат предметом геометрии выпуклых тел, и т. п. Вместе с тем каждая данная кривая, каждое данное выпуклое тело и т. п., определённые тем или иным построением или конкретным свойством (например, эллипс, цилиндр и т. д.), могут стать предметом Элементарная геометрия Стало быть, Элементарная геометрия характеризуется в смысле её предмета тем, что в ней рассматриваются не вообще любые фигуры, но каждый раз те или иные достаточно определённые фигуры.

Точнее, Элементарная геометрия исходит из простейших фигур — точка, отрезок, прямая, угол, плоскость, и основного понятия о равенстве отрезков и углов или вообще о совмещении фигур при наложении, чем определяется их равенство. Кроме того, при строгом аксиоматическом построении Элементарная геометрия явно выделяются понятия: «точка лежит на прямой» или «на плоскости», «точка лежит между двумя другими». Предмет Элементарная геометрия составляют: 1) фигуры, определяемые конечным числом простейших фигур (как, например, многоугольник определяется конечным числом отрезков, многогранник — конечным числом многоугольников, а стало быть, опять-таки отрезков); 2) фигуры, определённые тем или иным свойством, формулируемым в исходных понятиях (например, эллипс с фокусами А, В есть геометрическое место таких точек X, что сумма отрезков AX и BX равна данному отрезку); 3) фигуры, определённые построением (как, например, конус строится проведением прямых из данной точки О во все точки какой-либо данной окружности, не лежащей с О в одной плоскости, а коническое сечение определяется пересечением конуса плоскостью). Фигура, как бы сложна она ни была, заданная подобным образом, может стать предметом исследования в рамках Элементарная геометрия Что касается свойств таких фигур, то Элементарная геометрия ограничивается изучением свойств, которые определяются опять-таки на основе указанных простейших понятий. Свойства эти суть прежде всего взаимное расположение фигур, равенство тех или иных элементов фигуры, длина, площадь, объём. Соответственно, определения длины окружности, площади эллипса, объёма шара и т. п. принадлежат Элементарная геометрия Однако общие понятия длины, площади и объёма лежат за пределами Элементарная геометрия, например теорема о том, что среди всех замкнутых кривых данной длины наибольшую площадь ограничивает окружность, хотя и говорит о свойстве окружности, не принадлежит Элементарная геометрия, т. к. в ней фигурирует понятие длины любой замкнутой кривой и ограничиваемой ею площади. В Элементарная геометрия рассматриваются свойства касательной к окружности, можно рассматривать и свойства касательных к эллипсу, гиперболе, параболе, но общее понятие касательной лежит за пределами Элементарная геометрия Это логическое различие в общности понятий и степени абстракции вполне отвечает историческому развитию, ибо общие понятия длины, площади, объёма, так же как общее понятие касательной к кривой, были постепенно выработаны только вместе с развитием анализа, а указанная теорема о макс. свойстве окружности была строго доказана только в середине 19 в. Геометрия построения и преобразования, изучаемые в Элементарная геометрия, определяются опять-таки конкретными геометрическими предписаниями на основе первичных понятий геометрии; таково, например, преобразование обратных радиусов, или инверсия.

Соответственно предмету Элементарная геометрия ограничены и её методы; они заведомо исключают пользование общими понятиями любой фигуры, переменной, функции, исключают ссылки на общие теоремы теории пределов и т. п. Основной метод Элементарная геометрия — это вывод теорем путём наглядного рассуждения, основанного либо на исходных посылках — аксиомах, либо на уже известных теоремах Элементарная геометрия, с применением того или иного вспомогательного построения, не употребляющего общих понятий кривой, тела и др. (например, «продолжим отрезок AB», «разделим угол А пополам»). Привлекаемые в Элементарная геометрия вычислительные средства из алгебры и тригонометрии допускают, по существу, сведение к таким построениям. Понятие предела не исключается из Э. г., поскольку оно фигурирует в теоремах о длине окружности, поверхности шара и др., бесспорно включаемых в Элементарная геометрия Однако в каждом таком случае речь идет о конкретной последовательности, заданной элементарно-геометрическим построением, и приближении к пределу устанавливается непосредственно, без ссылок на общую теорию пределов. Примером может служить определение длины окружности посредством рассмотрения последовательности вписанных и описанных правильных многоугольников. Подобный прием в принципе возможен для любой данной кривой, но для произвольной кривой вообще ничего подобного сделать нельзя, поскольку «кривая вообще» не задана конкретно. Стало быть, разница между Элементарная геометрия, вообще элементарной математикой и высшей состоит скорее не в том, что во второй применяется понятие предела, а в первой — нет, а в степени общности этого понятия. Соответственно определению метода Э. г. та или иная теория может принадлежать Элементарная геометрия по формулировке, но не по доказательству. Примером может служить теорема Минковского о существовании выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями граней (точную формулировку см. в ст. Многогранник), эта теорема элементарна по формулировке, но известные ее доказательства не элементарны, т. к. используют общие теоремы анализа либо даже топологии.

Коротко можно сказать, что Элементарная геометрия включает те вопросы геометрии, которые в своей постановке и решении не включают общей концепции бесконечного множества, но лишь конструктивно определённые множества (геометрические места). Когда говорят, что евклидова геометрия основана, скажем, на системе аксиом Гильберта или на иной, близкой по характеру системе аксиом то забывают что при введении общих понятий кривой выпуклого тела длины и др. фактически используют способы образования понятий, вовсе не предусмотренные в аксиомах, а опирающиеся на общую концепцию множества, последовательности и предела, отображения или функций. То, что выводится из аксиом Гильберта без таких добавлений, и составляет элементарную часть евклидовой геометрии. Это разграничение можно уточнить в терминах математической логики. Вместе с тем, соответственно такому пониманию Э. г., можно говорить об Элементарная геометрия n-мерного евклидова пространства, о Элементарная геометрия Лобачевского и др. При этом имеются в виду те разделы, теоремы и выводы этих геометрических теорий, которые характеризуются теми же чертами.

Лит.: Начала Евклида, пер. с греч., кн. 1—15, М. — Л., 1948—50; Адамар Ж., Элементарная геометрия пер. с фр., ч. 1, 4 изд., М., 1958; Погорелов А. В., Элементарная геометрия, 2 изд., М., 1974; История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1—3, М., 1970—72.