Аналитическая геометрия

Определение "Аналитическая геометрия" в Большой Советской Энциклопедии

Аналитическая геометрия. Рис.

Аналитическая геометрия, раздел геометрии. Основными понятиями Аналитическая геометрия являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными средствами исследования в Аналитическая геометрия служат метод координат (см. ниже) и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 в. Отчётливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ Аналитическая геометрия было сделано P. Декартом в его «Геометрии» (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма. Дальнейшая разработка Аналитическая геометрия связана с трудами Г. Лейбница, И. Ньютона и особенно Л. Эйлера. Средствами Аналитическая геометрия пользовался Ж. Лагранж при построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. Ныне Аналитическая геометрия не имеет самостоятельного значения как наука, однако её методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и др. наук.

Аналитическая геометрия. Рис.

Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, например, на плоскости p две взаимно перпендикулярные прямые Ox и Оу (рис. 1). Эти прямые с указанным на них направлением, началом координат О и выбранной масштабной единицей е образуют т. н. декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ox и Оу называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить следующим образом. Пусть M_x и M_y — проекции М на Ox: и Оу, а числа х и y — величины отрезков OM_x и ОМ_у (величина х отрезка OM_x, например, равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к M_x совпадает с направлением на прямой Ox, и со знаком минус в противоположном случае). Числа х и у называются декартовыми прямоугольными координатами точки М в системе Оху. Обычно они называются соответственно абсциссой и ординатой точки M. Для обозначения точки М с абсциссой х и ординатой у пользуются символом М(х,у). Ясно, что координаты точки М определяют её положение относительно системы Оху.

  Пусть на плоскости p с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана некоторая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии L относительно системы Оху как соотношения вида F(x,y) = 0, которому удовлетворяют координаты х и у любой точки M, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L. Если, например, линия L является окружностью радиуса R с центром в начале координат O, то уравнение x²+ y² — R² = 0 будет уравнением рассматриваемой окружности, в чём можно убедиться, обратившись к рис. 2. Если точка М лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника OMM_x получается x² + y² — R² = 0. Если же точка не лежит на окружности, то, очевидно, x² + y² — R² ¹ 0. Итак, линии L на плоскости можно сопоставить её уравнение F(x,y) = 0 относительно системы координат Оху.

  Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрические свойства линии L выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения F(x,y) = 0 этой линии. Например, применим метод координат для выяснения числа точек пересечения окружности С радиуса R и данной прямой линии В  (рис. 3). Пусть начало системы координат Оху находится в центре окружности, а ось Ox направлена перпендикулярно прямой В. Так как прямая В перпендикулярна оси Ox, то абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной a. Т. о., уравнение прямой В имеет вид x — a = 0. Координаты (x, y) точки пересечения окружности С (ур-ние которой имеет вид x² + y² — R² = 0) и прямой В удовлетворяют одновременно уравнениям
x² + y² - R² = 0, х - а = 0, (1)

то есть являются решением системы (1). Следовательно, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений алгебраической системы (1). Решая эту систему, получают х = a, у = ± R² — a². Итак, окружность и прямая могут пересекаться в двух точках (R² > a²) (этот случай изображен на рис. 3), могут иметь одну общую точку (R² = a²) (в этом случае прямая В касается окружности C) и не иметь общих точек (R² < a²) (в этом случае прямая В лежит вне окружности C).

В Аналитическая геометрия на плоскости подробно изучаются геометрические свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину (см. Конические сечения). Эти линии часто встречаются во многих задачах естествознания и техники. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий; в инженерном деле для конструирования прожекторов, антенн и телескопов пользуются важным оптическим свойством параболы, заключающимся в том, что лучи света, исходящие из определённой точки (фокуса параболы), после отражения от параболы образуют параллельный пучок.

В Аналитическая геометрия на плоскости систематически исследуются т. н. алгебраические линии первого и второго порядков (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями первой и второй степени). Линии первого порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax + By + С = 0. Линии второго порядка определяются уравнениями вида Ax² + Вху + Су² + Dx + Еу + F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Можно доказать, что таким способом уравнение любой вещественной линии второго порядка может быть приведено к одному из следующих простейших видов:

  Первое из этих уравнений определяет эллипс, второе — гиперболу, третье — параболу, а последние два — пару прямых (пересекающихся, параллельных или слившихся).

В Аналитическая геометрия в пространстве также пользуются методом координат. При этом декартовы прямоугольные координаты .x, у и z (абсцисса, ордината и апликата) точки М вводятся в полной аналогии с плоским случаем (рис. 4). Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить её уравнение F (x, y, z) =0 относительно системы координат Oxyz. (Так, например, уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат имеет вид x² + y² + z² — R² = 0.) При этом геометрические свойства поверхности S выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S₁ и S₁. Если F₁(x, y, z) = 0 и F₂(x, y, z) = 0 — уравнения S₁ и S₂, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Например, прямую L в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Так как плоскость в пространстве определяется уравнением вида Ax + By + Cz + D = 0, то пара уравнений такого вида, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение прямой L. Т. о., метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В A. г. в пространстве систематически исследуются т. н. алгебраические поверхности первого и второго порядков. Выясняется, что алгебраическими поверхностями первого порядка являются лишь плоскости. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида:
Ax² + By² + Cz² + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Ну + Mz + N = 0.

  Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Важнейшими вещественными поверхностями второго порядка являются эллипсоиды, однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды. Эти поверхности в специально выбранных декартовых прямоугольных системах координат имеют следующие уравнения:

Перечисленные важнейшие поверхности второго порядка часто встречаются в различных вопросах механики, физики твёрдого тела, теоретической физике и инженерном деле. Так, при изучении напряжений, возникающих в твёрдом теле, пользуются понятием т. н: эллипсоид напряжений. В различных инженерных сооружениях применяются конструкции в форме гиперболоидов и параболоидов.

Лит.: Декарт Р., Геометрия, [пер. с франц.], М.—Л., 1938; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1967; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С., Сборник задач по аналитической геометрии, 3 изд., М., 1964; Клетеник Д. В., Сборник задач по аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967.
Э. Г. Позняк.